квадратное уравнение

Классная тема. Разберёмся с квадратным уравнением по шагам и наглядно.

1. Что такое квадратное уравнение

• Общее виде: a x^2 + b x + c = 0, где a ≠ 0.
• Цель: найти все значения x, которые удовлетворяют уравнению.

2. Основные способы решения

• Способ 1. Факторизация (разложение на множители) Найти такие множители, чтобы a x^2 + b x + c = (p x + q)(r x + s) и при умножении получилось исходное выражение. Затем приравнять каждый множитель к нулю.
• Способ 2. Дискриминант и формула корней Дискриминант D = b^2 - 4 a c. Если D > 0: два разных вещественных корня x1 и x2 = (-b ± sqrt(D)) / (2a). Если D = 0: один корень x = -b / (2a). Если D < 0: корни комплексные (вещественные корни отсутствуют).
• Способ 3. Дополнение до квадрата Переписать уравнение так, чтобы слева получился квадрат дворового выражения: a x^2 + b x + c = a[(x + b/(2a))^2] + (c - b^2/(4a)) = 0, далее решить через квадрат.
• Способ 4. Примеры с упрощением Иногда удобно приводить уравнение к простому виду, например, сделать коэффициент при x^2 равным 1 (делим на a, если можно).

3. Примеры решения (пошагово)

• Пример 1: x^2 - 5x + 6 = 0 a = 1, b = -5, c = 6

  1. Факторизация: ищем числа, дающие +6 и суммирующиеся до -5: (-2) и (-3) (x - 2)(x - 3) = 0
  2. Корни: x = 2 или x = 3

• Пример 2: 2x^2 + 3x - 2 = 0 a = 2, b = 3, c = -2

  1. Дискриминант: D = b^2 - 4ac = 9 - 42(-2) = 9 + 16 = 25
  2. Корни: x = (-b ± sqrt(D)) / (2a) = (-3 ± 5) / 4 x1 = (2)/4 = 0.5 x2 = (-8)/4 = -2

• Пример 3: x^2 + 4x + 5 = 0 a = 1, b = 4, c = 5 D = b^2 - 4ac = 16 - 20 = -4 Корни: x = (-4 ± sqrt(-4)) / 2 = -2 ± i То есть вещественных корней нет, но есть комплексные.

• Пример 4: x^2 - 4 = 0 a = 1, b = 0, c = -4

  1. Дискриминант: D = 0^2 - 41(-4) = 16
  2. x = (-0 ± sqrt(16)) / 2 = ±4/2 = ±2 Корни: x = 2 и x = -2

• Пример 5: Пример с дополнением до квадрата: x^2 + 6x + 5 = 0

  1. Перепишем как x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = 0 (x + 3)^2 - 4 = 0
  2. (x + 3)^2 = 4
  3. x + 3 = ±2 -> x = -3 ± 2 x1 = -1, x2 = -5

4. Полезные заметки

• Если a = 0, это уже линейное уравнение: bx + c = 0.
• Если D < 0, корни комплексные (могут пригодиться для расширенного курса).
• Проверяйте подстановкой: подставьте найденные корни обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться.

5. Что могу сделать для тебя сейчас

• Выдай конкретное квадратное уравнение (например, ax^2 + bx + c = 0) или прислать фото задачи — и я дам подробное решение по шагам.
• Могу решить любым из трёх популярных способов (факторизация, дискриминант, дополнение до квадрата) и подобрать наиболее понятный для тебя способ.

Пришли конкретное уравнение, и я разберу его по шагам прямо сейчас.