Задача: в треугольнике ABC AB = 4, BC = 5, угол B = 110°. Найдите неизвестные элементы треугольника.
Пошаговое решение
- Обозначения и цель
- Пусть сторона a = BC = 5 напротив угла A.
- Пусть сторона b = AC (неизвестна) напротив угла B.
- Пусть сторона c = AB = 4 напротив угла C.
- Известны: a = 5, c = 4, угол B = 110°. Нужно найти b (AC) и углы A, C.
- Найдем сторону AC ( b ) с помощью закона косинусов
Для треугольника со стороны a = BC и c = AB и углом между ними B:
b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c cos B.
cos 110° ≈ -0.3420201433.
Тогда
b^2 = 5^2 + 4^2 - 2·5·4·cos 110°
= 25 + 16 - 40·(-0.3420201433)
= 41 + 13.680805732
≈ 54.680805732.
b ≈ sqrt(54.680805732) ≈ 7.39465.
Итак, AC ≈ 7.395.
- Найдем углы A и C через закон синусов
Закон синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C.
Используем a / sin A = b / sin B:
sin A = a · sin B / b.
sin B = sin 110° ≈ 0.9396926208.
sin A ≈ 5 · 0.9396926208 / 7.39465 ≈ 0.6355.
Отсюда A ≈ arcsin(0.6355) ≈ 39.3°. (Так как угол B острый? Нет, B ∈ (90°,180°); A получаем как острый угол, подходящий сумме 180°.)
Один из способов проверить: C = 180° - B - A ≈ 180° - 110° - 39.3° ≈ 30.7°.
Для проверки через синусы: sin C = c · sin B / b ≈ 4 · 0.9396926208 / 7.39465 ≈ 0.5087 → C ≈ 30.7°, согласуется.
- Дополнительно (по желанию): площадь треугольника
S = 1/2 · AB · BC · sin ∠B = 1/2 · 4 · 5 · sin 110° ≈ 10 · 0.9396926208 ≈ 9.397.
Итоговые значения
- AC ≈ 7.395
- ∠A ≈ 39.3°
- ∠C ≈ 30.7°
- Площадь S ≈ 9.40 (опционально)
Если нужно, могу привести более точные значения или проверить другими методами.
