реши

Задача: В треугольнике ABC ∠A = 30°, ∠B = 45°, отрезок CH — высота (CH ⟂ AB), AC = 10. Найдите BH.

Пошаговое решение:

1. Найдём угол C:

• ∠C = 180° − (∠A + ∠B) = 180° − (30° + 45°) = 105°.

2. Найдём сторону BC через Закон синусов:

• b = AC = 10 против угла ∠B = 45°.
• BC / sin ∠A = AC / sin ∠B ⇒ BC = sin 30° · (AC / sin 45°)
• sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2.
• BC = (1/2) · (10 / (√2/2)) = 10/√2 = 5√2.

3. Используем треугольник BHC. Это прямоугольный треугольник с углом в B равным ∠B = 45°, гипотенуза BC, катет BH — прилегающий к углу B.

• cos ∠B = BH / BC ⇒ BH = BC · cos 45° = BC · (√2/2)
• BH = (5√2) · (√2/2) = 5.

Ответ: BH = 5. Дополнительно можно проверить высоту CH из треугольника ACH: CH = AC · sin ∠A = 10 · sin 30° = 5, что согласуется с полученным BH (в треугольнике BHC: BC = √(BH^2 + CH^2) = √(25 + 25) = 5√2).