13. Дано: a_{1} = 2 a n + 1 =3a n +1 Докажите, что a_{n} = 1/2 * (5 * 3 ^ (n - 1) - 1) где n \in N
Задача предполагает рекуррентное определение последовательности:
- a1 = 2
- a_n = 3 a_{n-1} + 1 для n > 1
Необходимо доказать, что a_n = (5 · 3^(n-1) − 1)/2 для всех n ∈ N.
База индукции Для n = 1 формула дает: a_1 = (5 · 3^0 − 1)/2 = (5 − 1)/2 = 2, что совпадает с заданным a_1 = 2. База верна.
Пошаговое доказательство по индукции Пусть для некоторого k выполнено предположение индукции: a_k = (5 · 3^(k−1) − 1)/2.
Тогда a_{k+1} = 3 a_k + 1 = 3 · (5 · 3^(k−1) − 1)/2 + 1 = (15 · 3^(k−1) − 3)/2 + 1 = (15 · 3^(k−1) − 3 + 2)/2 = (15 · 3^(k−1) − 1)/2 = (5 · 3^k − 1)/2.
Это соответствует формуле для n = k+1: a_{k+1} = (5 · 3^k − 1)/2.
Следовательно, если формула верна для n = k, она верна и для n = k+1. По основанию и индукции она верна для всех natural numbers n.
Дополнительный способ увидеть ответ (необязательно, но полезно): Решение линейного неоднообразленного рекуррентного уравнения a_n − 3 a_{n−1} = 1.
- Решение однородной части: a_n^h = C · 3^(n−1).
- Частное решение: возьмём a_n^p = p, тогда p − 3p = 1 ⇒ p = −1/2.
- Общее решение: a_n = C · 3^(n−1) − 1/2.
- Применяем a_1 = 2: 2 = C · 3^0 − 1/2 ⇒ C = 5/2.
- Получаем a_n = (5/2) · 3^(n−1) − 1/2 = (5 · 3^(n−1) − 1)/2.
Итак, доказано: a_n = (5 · 3^(n−1) − 1)/2 для всех n ∈ N.
