1)доказать теорему о том что сумма диагоналей четырёхугольника меньше примера этого четырёхугольника с чертежам 2)доказать теорему о сумме углов в четырёхугольнике выпуклый случай с чертежом 3) доказать теорему о свойстве дельтоида вогнутый случай с чертежом

Ниже даю подробные пошаговые решения по каждой части. Везде предполагаю, что речь идёт о выпуклом четырехугольнике, если не указано иное. Для части 3 отдельно объясню вогнутый (конгруэнтный) случай. Обозначения: - ABCD — четырехугольник (порядок вершин по обходу). - AB, BC, CD, DA — стороны. - P = AB + BC + CD + DA — периметр. - AC и BD — диагонали. 1) Доказательство: сумма диагоналей меньше периметра (выпуклый четырехугольник) Цель: показать AC + BD < P. Пошагово: - В треугольнике ABC применяем неравенство треугольника: AC < AB + BC. - В треугольнике ADC применяем неравенство треугольника: AC < AD + DC. - Сложив эти два неравенства, получаем: 2·AC < (AB + BC) + (AD + DC) = P. - Значит AC < P/2. - Аналогично для диагонали BD: - В треугольнике ABD имеем BD < AB + AD. - В треугольнике BCD имеем BD < BC + CD. - Складываем: 2·BD < (AB + AD) + (BC + CD) = P. - Значит BD < P/2. - Сложив полученные два неравенства: AC + BD < P/2 + P/2 = P. Вывод: сумма диагоналей AC + BD строго меньше периметра четырехугольника. Примечание: неравенство строгое, т.к. в обычном невырожденном четырехугольнике диагонали короче суммы соответствующих пар сторон. Иллюстративная подсказка для чертежа: проведите выпуклый ABCD и диагонали AC и BD. Обозначьте периметр P = AB + BC + CD + DA. 2) Доказательство теоремы о сумме углов в выпуклом четырехугольнике Цель: доказать ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. Пошагово: - Проведём диагональ AC, разбив четырёхугольник на два треугольника: ABC и ADC. - В треугольнике ABC сумма углов равна 180°, т.е. ∠CAB + ∠ABC + ∠BCA = 180°. - В треугольнике ADC сумма углов тоже 180°, т.е. ∠CAD + ∠ACD + ∠CDA = 180°. - Складываем два равенства: (∠CAB + ∠CAD) + ∠ABC + (∠BCA + ∠ACD) + ∠CDA = 360°. - Заметим, что: - ∠CAB + ∠CAD = ∠DAB — угол при вершине A четырёхугольника. - ∠BCA + ∠ACD = ∠BCD — угол при вершине C четырёхугольника. - Таким образом получаем: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°. Иллюстративная подсказка для чертежа: нарисуйте ABCD, проведите диагональ AC. Обозначьте углы в треугольниках ABC и ADC и сложите их, увидев, что получается сумма углов всех четырех вершин. 3) Доказательство свойства дельтоида (дельтоид = четырехугольник с двумя парами соседних равных сторон) Цель: показать основное свойство дельтоида: диагональ AC является осью симметрии, и диагональ BD перпендикулярна AC (выпуклый и вогнутый случаи). Условия: AB = AD и CB = CD. Такой четырехугольник называют дельтоидом (китом). Пошагово: - Рассмотрим треугольники ABC и ADC. У них три пары равных сторон: AB = AD, BC = DC и общая сторона AC = AC. Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по свойствам SSS (трёх сторон равны). - Следовательно, вершины B и D симметричны относительно прямой AC. Это означает, что AC является осью симметрии дельтиода. - Отсюда BD — хорда между двумя симметричными точками относительно AC. Геометрически это означает, что BD перпендикулярна AC: BD ⟂ AC. - Это утверждение сохраняется как в выпуклом, так и в вогнутом случае: если AB = AD и CB = CD, то B и D располагаются симметрично по отношению к AC, поэтому BD перпендикулярна AC, независимо от того, выпуклый ли дельтоид или вогнутый. Иллюстративная поясняющая запись для чертежа: нарисуйте дельтоид ABCD с парами равных соседних сторон AB = AD и CB = CD. Положите AC как ось симметрии; покажите, что точки B и D зеркально расположены относительно AC, и отметьте, что BD пересекает AC под прямым углом. Дополнительные заметки: - В части 1 и 2 мы опираемся на базовые геометрические неравенства и свойства треугольников; в части 3 — на свойство симметрии дельтиода и факт перпендикулярности диагоналей. - Если нужна, могу привести конкретные числовые примеры или пометить на чертеже соответствующие углы и стороны. Если хотите, могу оформить это в виде компактного конспекта с подписью вершин на чертеже или подготовить текстовую подпись к каждому рисунку для вставки в тетрадь.