решите уравнение 4х^3+х-15=0
Решение задачи: 4x^3 + x - 15 = 0
Цель: понять методику (пошагово и подробно).
- Поиск корня и факторизация
- Проверим возможные рациональные корни (правило рациональных корней). Среди них есть числа вида ±(число из множителя константы)/(множитель ведущего коэффициента). Пробуем x = 3/2: f(3/2) = 4·(3/2)^3 + (3/2) - 15 = 4·(27/8) + 3/2 - 15 = 27/2 + 3/2 - 15 = 30/2 - 15 = 15 - 15 = 0.
- Значит x = 3/2 является корнем. По теореме о корнях (теорема Фактора) это означает, что многочлен делится на линейный множитель (x - 3/2). Чтобы получить множитель с целыми коэффициентами, воспользуемся множителем (2x - 3).
Следовательно, 4x^3 + x - 15 = (2x - 3) · Q(x), где Q(x) — квадратный множитель.
- Деление полинома на (2x - 3) Делим 4x^3 + 0x^2 + x - 15 на (2x - 3):
Первый член частного: (4x^3)/(2x) = 2x^2. Умножаем: (2x^2)(2x - 3) = 4x^3 - 6x^2. Вычитаем: [4x^3 + 0x^2] - [4x^3 - 6x^2] = 6x^2. Спускаем дальше: + x.
Следующий член частного: (6x^2)/(2x) = 3x. Умножаем: (3x)(2x - 3) = 6x^2 - 9x. Вычитанием получаем: x - (-9x) = 10x. Спускаем: - 15.
Следующий член частного: (10x)/(2x) = 5. Умножаем: 5(2x - 3) = 10x - 15. Вычитанием остаётся 0.
Итак, Q(x) = 2x^2 + 3x + 5. Значит: 4x^3 + x - 15 = (2x - 3)(2x^2 + 3x + 5).
- Решение квадратного уравнения 2x^2 + 3x + 5 = 0
- Дискриминант: Δ = 3^2 - 4·2·5 = 9 - 40 = -31 < 0.
- Следовательно, уравнение имеет два комплексных корня: x = [-3 ± i√31] / (2·2) = [-3 ± i√31] / 4.
- Итог
- Реальный корень: x = 3/2.
- Две комплексные корни: x = (-3 ± i√31)/4.
Приближённые значения:
- x1 ≈ 1.5
- x2 ≈ -0.75 + 1.3919i
- x3 ≈ -0.75 - 1.3919i
Дополнительное пояснение: Это обычная ситуация для кубического дробного многочлена: он имеет как минимум один реальный корень. В данном случае второй и третий корни оказались комплексными из-за отрицательного дискриминанта квадратного факторирования.
