числовля последовательно задать уклавске!" A₁ = 2, An = n-1° An-1. Вывесты и зонпзать формулу п-20 лена этой последовательность, зависящую больгот

Задача (судя по тексту): дана последовательность A1 = 2, A_n = (n − 1) · A_{n−1}. Найти явную формулу A_n.

Что означает рекуррентное определение:

• каждый следующий член умножается на (n − 1) относительно предыдущего.
• начиная с A1 = 2, при распаковке получаем произведение множителей 1, 2, 3, ..., (n − 1), умноженное на A1.

Пошаговое решение

1. Посчитаем несколько членов, чтобы уловить закономерность

• A1 = 2
• A2 = (2 − 1) · A1 = 1 · 2 = 2
• A3 = (3 − 1) · A2 = 2 · 2 = 4
• A4 = (4 − 1) · A3 = 3 · 4 = 12
• A5 = (5 − 1) · A4 = 4 · 12 = 48

Видно, что каждый раз умножаем на последовательность 1, 2, 3, ..., (n − 1). Это даёт A_n = 2 · 1 · 2 · 3 · ... · (n − 1) = 2 · (n − 1)!

2. Доказательство по индукции

• База (n = 1): A1 = 2. Правильность формулы: 2 · (1 − 1)! = 2 · 0! = 2 · 1 = 2.
• Шаг построения: предположим, что A_k = 2 · (k − 1)! для некоторого k ≥ 1. Тогда A_{k+1} = k · A_k = k · [2 · (k − 1)!] = 2 · k! = 2 · [(k + 1) − 1]!, что совпадает с формулой для n = k + 1. Значит, по принципу математической индукции формула верна для всех n ≥ 1.

Ответ A_n = 2 · (n − 1)!, при n = 1, 2, 3, …

Пояснение

• Рекуррентное соотношение A_n = (n − 1) · A_{n−1} — это по сути умножение предыдущего члена на последовательные натуральные числа 1, 2, ..., (n − 1), что в итоге даёт факториал. Умножение на A1 = 2 даёт окончательное явное выражение: A_n = 2 · (n − 1)!.

Если нужно, могу привести аналогичные шаги для другого начального условия или другой формы рекуррентного отношения.