третий признак треугольника

К счастью, в школьной геометрии “третий признак треугольника” чаще всего обозначает ASA — признак равенства треугольников по двум углам и включённой между ними стороне.

Что такое ASA (третьий признак)?

• Условие: если два треугольника имеют две пары равных углов и сторона между этими углами равна, то треугольники равны.
• Формулировка на примере: пусть треугольники ABC и A′B′C′ удовлетворяют ∠A = ∠A′, ∠C = ∠C′ и AC = A′C′. Тогда треугольники ABC и A′B′C′ конгруэнтны (равны по всем сторонам и углам).

Почему это верно (постановка с объяснением):

• По двум углам треугольники уже подобны (признак AA: две пары равных углов — соответственные углы равны).
• Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон. Здесь включённая между равными углами сторона AC равна A′C′, значит k = AC / A′C′ = 1.
• Следовательно все стороны треугольников равны друг другу, а все углы соответствуют друг другу — треугольники конгруэнтны.

Пошаговое объяснение с выводами:

1. Даны ∠A = ∠A′ и ∠C = ∠C′.
2. Из этого ∠B = 180° − (∠A + ∠C) = 180° − (∠A′ + ∠C′) = ∠B′. То есть третий угол тоже равен.
3. AC = A′C′ — включённая между равными углами сторона.
4. По ASA треугольники ABC и A′B′C′ конгруэнтны: AB = A′B′, BC = B′C′, ∠B = ∠B′ и т. д.

Пример для наглядности:

• Треугольники ABC и A′B′C′: ∠A = ∠A′ = 40°, ∠C = ∠C′ = 70°, AC = A′C′ = 6 см.
• Тогда ∠B = ∠B′ = 70°, и по ASA треугольники равны. Следовательно все стороны и все углы соответствуют друг другу: AB = A′B′, BC = B′C′, и т. д.

Коротко:

• ASA = два угла и между ними лежащая сторона равны → треугольники конгруэнтны.
• Важно: сторона должна лежать между этими двумя равными углами (она включена между ними).

Если вы имели в виду иной “третьий признак треугольника” (например AAS или SAS или SSS, в зависимости от списка в вашей учебнике), скажите — приведу конкретное формулировку и решение под ваш вариант.