Изобразить в координатной плоскости решения неравенств: а) х² + у² _<4 б) (х +4)² + (у-2)² > 16

Цель: Понять и наглядно изобразить решения неравенств на координатной плоскости. Дано: задача по алгебре 9 класса. а) Неравенство: x^2 + y^2 < 4 1) Преобразование к геометрическому виду - x^2 + y^2 = 4 задаёт окружность радиуса 2 с центром в начале координат (0,0). - Неравенство x^2 + y^2 < 4 означает «точки на плоскости, расстояние от начала координат меньше 2». 2) Что рисовать на плоскости - Центр окружности: (0,0). - Радиус: 2. - Граница: окружность x^2 + y^2 = 4 проводится пунктиром (так как она не входит в решение). - Заштриховывается внутренняя часть окружности (все точки внутри), потому что расстояние < 2. 3) Практические шаги для рисунка - Нарисуйте координатную сетку. - Отметьте точки (0,2), (0,-2), (2,0), (-2,0) — они лежат на границе. - Проведите окружность радиуса 2, центр в (0,0). Сделайте линию окружности пунктирной. - Заштрихуйте внутреннюю часть окружности (все точки, находящиеся внутри), но не заштриховывайте за её пределами. 4) Проверка - Любой тестовый пункт внутри: например (0,0) даёт 0 < 4, значит внутри заштрихованный region подходит. - Точка на границе, например (2,0), даёт 4 = 4, и т. к. неравенство строгое (<), граница не включается (пунктирная линия как признак «не включать»). Итого: решение а) — внутренняя часть круга радиуса 2 вокруг начала координат (объект без границы, граница пунктирная). б) Неравенство: (x + 4)^2 + (y - 2)^2 > 16 1) Геометрическое представление - (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 16 — окружность радиуса 4 с центром в точке (-4, 2). - Неравенство > 16 означает «точки на плоскости, расстояние от центра (-4, 2) больше 4». 2) Что рисовать на плоскости - Центр окружности: (-4, 2). - Радиус: 4. - Граница: окружность проводится пунктиром (так как граница не входит в решение для строгого >). - Заштриховывается вне круга — т. е. все точки, расстояние от (-4,2) больше 4. 3) Практические шаги для рисунка - Нарисуйте координатную сетку. - Отметьте центр (-4, 2). Можно построить проекцию: отложите по оси x 4 единиц влево и по оси y 2 единицы вверх от начала, чтобы найти центр. - От центра проведите окружность радиуса 4. Точка на окружности удовлетворяет равенству; поскольку неравенство строгое, границу рисуйте пунктирной. - Заштрихуйте внешнюю область за пределами окружности (всё, что находится за границей круга, включая точки далеко от центра). 4) Проверка - Можно проверить точку вне круга, например точку Origin (0,0): расстояние до центра (-4,2) равно sqrt((0+4)^2 + (0-2)^2) = sqrt(16+4) = sqrt(20) ≈ 4.47 > 4, значит точка подходит под неравенство > 16. - Точка на границе, например (-0,0) не на границе, но если взять (-4+4, 2) = (0,2) — расстояние 4, равняется радиусу; для строгого > такая точка не подходит (граница). Итого: решение б) — внешняя часть окружности радиуса 4 с центром в (-4, 2); граница окружности пунктирная, район за её пределами заштрихован. Кратко: - а) внутри круга радиуса 2, центр (0,0), граница - пунктир, внутренняя область заштрихована. - б) вне круга радиуса 4, центр (-4,2), граница - пунктир, внешняя область заштрихована. Если нужно, могу привести пошаговую подпись на рисунке или набросок в текстовом виде с координатами для каждого ключевого пункта.