5x+3y=25

Вот подробное решение задачи 5x + 3y = 25 (цель — понять).

1. Выразим одну переменную через другую

• Решим относительно y: 3y = 25 − 5x, y = (25 − 5x)/3.
• Также можно решить относительно x: 5x = 25 − 3y, x = (25 − 3y)/5.

2. Приведём к удобной форме

• Перепишем уравнение в форме «коэффициент при x» и «коэффициент при y» и свободный член: 5x + 3y = 25.
• В форме slope-intercept (наклон-ось y): y = −(5/3)x + 25/3. Тут наклон прямой m = −5/3, точка пересечения с осью y (y-перехват) b = 25/3.

3. Интерцепты (пересечения с осями)

• x-пересечение (y = 0): 5x = 25 ⇒ x = 5. Точка (5, 0).
• y-пересечение (x = 0): 3y = 25 ⇒ y = 25/3. Точка (0, 25/3).

4. Что это за множество решений

• Для любых вещественных x и y уравнение задаёт прямую на плоскости. Следовательно, существует бесконечное множество решений в виде пары (x, y), удовлетворяющей зависимость y = (25 − 5x)/3.

5. Если нужны целочисленные решения (диофантово уравнение)

• Так как gcd(5, 3) = 1 и 1 divides 25, целочисленных решений бесконечно много.
• Найдём общую форму через модуль: 5x ≡ 25 (mod 3) ⇒ 2x ≡ 1 (mod 3) ⇒ x ≡ 2 (mod 3). Запишем x = 3k + 2, где k — целое число. Тогда y = (25 − 5x)/3 = (25 − 5(3k + 2))/3 = (25 − 15k − 10)/3 = (15 − 15k)/3 = 5 − 5k. Общая целочисленная формула: x = 3k + 2, y = 5 − 5k, для любого целого k.
• Примеры:
  • k = 0: (x, y) = (2, 5), проверка: 5·2 + 3·5 = 10 + 15 = 25.
  • k = 1: (x, y) = (5, 0), проверка: 5·5 + 3·0 = 25.
  • k = −1: (x, y) = (−1, 10), проверка: 5·(−1) + 3·10 = −5 + 30 = 25.
  • и т.д.

6. Коротко подытожим

• Общее решение для вещественных чисел: y = (25 − 5x)/3.
• График — прямая с наклоном −5/3, пересекает ось y в (0, 25/3) и ось x в (5, 0).
• Целочисленные решения задаются параметрически: x = 3k + 2, y = 5 − 5k (k ∈ Z).

Если хочешь, могу дать аналогичную задачу для закрепления или проверить конкретные значения.