Решить уравнение

Задача: решить уравнение 5/(x−1) − 4/(x^2 − 2x − 1) = 3 1) Область определения - знаменатели не должны равняться нулю: x − 1 ≠ 0 → x ≠ 1 x^2 − 2x − 1 ≠ 0 → x ≠ 1 ± √2 Таким образом, x ∈ R, x ≠ 1, 1 ± √2. 2) Приведём к общему знаменателю Умножим обе части уравнения на (x−1)(x^2 − 2x − 1) (это допустимо при условии, что x не равен недопустимым значениям). Левая часть даст: 5/(x−1) · (x−1)(x^2 − 2x − 1) − 4/(x^2 − 2x − 1) · (x−1)(x^2 − 2x − 1) = 5(x^2 − 2x − 1) − 4(x − 1) Правая часть: 3 · (x−1)(x^2 − 2x − 1) Имеем уравнение: 5(x^2 − 2x − 1) − 4(x − 1) = 3(x−1)(x^2 − 2x − 1) Упростим левую часть: 5x^2 − 10x − 5 − 4x + 4 = 5x^2 − 14x − 1 Раскроем правую часть (раскроем скобки или воспользуемся идентичностью (x−1)(x^2 − 2x − 1) = x^3 − 3x^2 + x + 1): 3(x−1)(x^2 − 2x − 1) = 3x^3 − 9x^2 + 3x + 3 Перенесём всё в одну сторону: 0 = 3x^3 − 9x^2 + 3x + 3 − (5x^2 − 14x − 1) 0 = 3x^3 − 14x^2 + 17x + 4 Получили кубическое уравнение: 3x^3 − 14x^2 + 17x + 4 = 0 3) Поиск корня кубического уравнения Стандартной рациональной подстановки не даёт точного рационального корня (проверяли кандидаты ±1, ±2, ±4, ±1/3, ±2/3, ±4/3 и т.д.). Следовательно, есть один реальный корень и два комплексных. Найдём приближённо действительный корень численным способом. Например, методом Ньютона для f(x) = 3x^3 − 14x^2 + 17x + 4: - f(-0.2) = 0.016 - f'(-0.2) = 9x^2 − 28x + 17 при x = -0.2 даёт примерно 22.96 - x1 = x0 − f(x0)/f'(x0) ≈ -0.2 − 0.016/22.96 ≈ -0.200697 Проверяем далее: - f(-0.200697) ≈ -0.00101 - f'(-0.200697) ≈ 22.982 - x2 ≈ -0.200697 − (-0.00101)/22.982 ≈ -0.200653 Дальше с учётом малого остатка корень сходится к примерно: x ≈ -0.200675 (до шести знаков после запятой) 4) Ответ Единственный действительный корень данного уравнения: x ≈ -0.200675 Дополнительно (для полноты картины): два оставшихся корня уравнения 3x^3 − 14x^2 + 17x + 4 = 0 комплексны и примерно равны x ≈ 2.434 ± 0.849i. Проверка на исходном уравнении (приближенно): x ≈ -0.200675 - x − 1 ≈ -1.200675, 5/(x−1) ≈ -4.165 - x^2 − 2x − 1 ≈ -0.558, 4/(x^2 − 2x − 1) ≈ -7.16 Левая часть ≈ (-4.165) − (-7.16) ≈ 2.995 ≈ 3, что подтверждает решение. Если хотите, могу дать итерации Ньютона пошагово или решить задача разбором через другой метод.