Реши

Ниже подробные решения по задачам, изображённым на фото (51–53). Задача 51. Сравнивая с нулём значения выражений, ученик получил: 1) 3√2 − √7 > 0 2) 4√7 − 9√2 < 0 3) 6√3 − 3√6 > 0 4) 7√11 − 6√12 < 0 Найдём реальный знак каждого выражения. 1) 3√2 − √7 Пусть A = 3√2 и B = √7. Тогда A^2 = 18, B^2 = 7, поэтому A^2 > B^2 и since A,B > 0, A > B. Значит 3√2 − √7 > 0. Утверждение верно. 2) 4√7 − 9√2 Сравним 4√7 и 9√2. (4√7)^2 = 16·7 = 112, (9√2)^2 = 81·2 = 162. Так как 112 < 162, то 4√7 < 9√2, значит 4√7 − 9√2 < 0. Утверждение верно. 3) 6√3 − 3√6 Сравним 6√3 и 3√6. (6√3)^2 = 36·3 = 108, (3√6)^2 = 9·6 = 54. Следовательно 6√3 > 3√6, значит 6√3 − 3√6 > 0. Утверждение верно. 4) 7√11 − 6√12 Сравним 7√11 и 6√12. (7√11)^2 = 49·11 = 539, (6√12)^2 = 36·12 = 432. Так как 539 > 432, то 7√11 > 6√12, и 7√11 − 6√12 > 0, т.е. выражение положительно. Заявление "< 0" неверно; здесь нужно было написать "> 0". Итого: 1) > 0, 2) < 0, 3) > 0 — верно; 4) должно быть > 0, а не < 0. Задача 52. a) 6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a Раскроем скобки: Левое: 6a^2 + 6a. Правое: (3a + 1)(2a + 1) + a = 6a^2 + 3a + 2a + 1 + a = 6a^2 + 6a + 1. Сравнение: 6a^2 + 6a < 6a^2 + 6a + 1 — верно для любого действительного a, т.к. разность левая—правая равна −1, всегда меньше 0. Следовательно неравенство выполняется всегда; строгая неравенство в действительности эквивалентна 0 < 1. b) (2p − 1)(2p + 1) + 3(p + 1) ≥ (4p + 3)p Раскроем: Левая часть: (2p − 1)(2p + 1) = 4p^2 − 1. Добавим 3(p + 1): 4p^2 − 1 + 3p + 3 = 4p^2 + 3p + 2. Права часть: (4p + 3)p = 4p^2 + 3p. Разность LHS − RHS = (4p^2 + 3p + 2) − (4p^2 + 3p) = 2 ≥ 0. Значит неравенство верно для любого p (и строгое неравенство никогда не достигается, т.к. разность всегда равна 2). Задача 53. a) Разность корней уравнения x^2 − 8x + q = 0 равна 16. Найдите q. Пусть корни α и β. Тогда: - сумма: α + β = 8 - произведение: αβ = q - разность квадратов: (α − β)^2 = (α + β)^2 − 4αβ = 8^2 − 4q = 64 − 4q. Дано |α − β| = 16, значит (α − β)^2 = 256. Тогда 256 = 64 − 4q, отсюда −4q = 192, q = −48. b) Сумма квадратов корней уравнения x^2 − 7x + q = 0 равна 29. Найдите q. Здесь α + β = 7, αβ = q. Сумма квадратов: α^2 + β^2 = (α + β)^2 − 2αβ = 7^2 − 2q = 49 − 2q. Условие: 49 − 2q = 29 → −2q = −20 → q = 10. Ответы: - 51: верны 1), 2), 3); 4) должна быть > 0. - 52: а) выполняется для любого a; b) выполняется для любого p (разность равна 2). - 53: a) q = −48; b) q = 10.