2x⁴ - x² - 1 = 0

Задача: решить уравнение 2x^4 - x^2 - 1 = 0.

Способ 1. Факторизация (быстрый путь)

• Перепишем левую часть так: 2x^4 - x^2 - 1 = (x^2 - 1)(2x^2 + 1). Проверка: (x^2 - 1)(2x^2 + 1) = 2x^4 + x^2 - 2x^2 - 1 = 2x^4 - x^2 - 1.
• Тогда произведение равно нулю, значит либо x^2 - 1 = 0, либо 2x^2 + 1 = 0.

1. x^2 - 1 = 0 → x = ±1.
2. 2x^2 + 1 = 0 → x^2 = -1/2 → x = ± i/√2 (комплексные корни).

Реальные решения: x = -1 и x = 1. Комплексные решения (если нужны): x = ± i/√2.

Способ 2. Замена y = x^2 (для понимания)

• Пусть y = x^2. Получаем 2y^2 - y - 1 = 0.
• Решаем квадратное уравнение: D = (-1)^2 - 4·2·(-1) = 1 + 8 = 9.
• y = [1 ± 3]/(4) → y = 1 или y = -1/2.
• Так как y = x^2 ≥ 0 для вещественных x, принимаем только y = 1 → x^2 = 1 → x = ±1.
• Если рассматривать комплексные x, то из y = -1/2 получаем x^2 = -1/2 ⇒ x = ± i/√2.

Итог:

• Реальные решения: x = -1, x = 1.
• Комплексные решения: x = ± i/√2.