Через концы трёх рёбер куба, исходящих из одной вершины, проведена плоскость. Постройте линии пересечения этой плоскости с гранями куба. Найдите периметр и площадь фигуры, образованной полученными линиями, если ребро куба равно 1.

Задача решается в системе координат куба со стороной 1: вершины куба имеют координаты (0 или 1). 1) Обозначим вершину, из которой выходят три рёбра, за O = (0,0,0). Концы этих трёх рёбер — A = (1,0,0), B = (0,1,0), C = (0,0,1). 2) Через точки A, B, C проведена плоскость. Найдём её уравнение. Пусть плоскость имеет общий вид ax + by + cz = d. Подставим точки: - A: a = d - B: b = d - C: c = d Следовательно, a = b = c = d. Делая нормировку, возьмём d = 1, получаем уравнение плоскости x + y + z = 1. 3) Пересечение этой плоскости с кубом (область [0,1] × [0,1] × [0,1]) даёт фигуру на гранях куба. На грани x = 0 имеем уравнение y + z = 1 в отрезке [0,1] × [0,1], следовательно, отрезок между B и C: (0,1,0) — (0,0,1). На грани y = 0 — отрезок между A и C: (1,0,0) — (0,0,1). На грани z = 0 — отрезок между A и B: (1,0,0) — (0,1,0). На противоположных гранях x = 1, y = 1, z = 1 точек пересечения нет, кроме самих вершин A, B, C. Таким образом, пересечение плоскости с кубом представляет собой треугольник ABC с вершинами A, B, C. 4) Найдём длины сторон треугольника ABC. Расстояние между любыми двумя вершинами: - AB: расстояние между (1,0,0) и (0,1,0) равно sqrt((1−0)² + (0−1)² + (0−0)²) = sqrt(2). - AC: расстояние между (1,0,0) и (0,0,1) равно sqrt((1−0)² + (0−0)² + (0−1)²) = sqrt(2). - BC: расстояние между (0,1,0) и (0,0,1) равно sqrt((0−0)² + (1−0)² + (0−1)²) = sqrt(2). Все стороны равны sqrt(2); треугольник ABC — равносторонний с ребром sqrt(2). 5) Периметр и площадь: - Периметр P = 3 · sqrt(2). - Площадь S равностороннего треугольника: S = (sqrt(3)/4) · a², где a = sqrt(2). Значит S = (sqrt(3)/4) · 2 = sqrt(3)/2. Ответ: - Периметр получившейся фигуры: P = 3√2. - Площадь фигуры: S = √3/2. Фигура представляет собой равносторонний треугольник со стороной √2.