Решить номер 6

Задача 6 напоминает проверку гипотезы о симметричности (независимо одинаковых вероятностей выпадения каждой грани у кубика). Цель решения: проверить гипотезу H0: кубик симметричен (вероятность выпадения каждой грани равна 1/6) против альтернативы H1: кубик не симметричен. 1) Что можно наблюдать по гистограммам - По рисункам во всех трёх сериях одна грань (скорее всего 3-я) выпадает заметно чаще остальных. - Разброс частот по другим граням различается между сериями, но повторяется тенденция: чаще всего встречается одна круглая вершина (грань 3). - Такая систематическая доминанта одной грани в нескольких независимых экспериментах может указывать на биас кубика. 2) Как формально проверить - Обозначим N_i число бросков в серии i (i = 1,2,3). Пусть O_j является суммой по всем сериям количества выпадений грани j (j = 1,...,6). Пусть E_j = N_total / 6, где N_total = N_1 + N_2 + N_3, это ожидаемое число выпадений каждой грани при симметричном кубике. - Применим критерий хи-квадрат: X^2 = сумма по всем граням j=1..6 от (O_j − E_j)^2 / E_j - Распределение X^2 имеет df = 6 − 1 = 5 степеней свободы. На уровне значимости α = 0.05 критическое значение χ^2(5) ≈ 11.07. - Если X^2 > 11.07, отвергаем H0: кубик несимметричен (есть статистически значимый Biased). 3) Пример расчета с наглядными числами (иллюстративный) Заметим, что по графикам точно считать нельзя без чисел, но для иллюстрации возьмём удобные примерные данные (N_i = 20 бросков в каждой серии, т.е. N_total = 60): - Серия 1: 1→3, 2→4, 3→6, 4→1, 5→4, 6→2 - Серия 2: 1→2, 2→3, 3→8, 4→2, 5→3, 6→2 - Серия 3: 1→3, 2→2, 3→7, 4→2, 5→4, 6→2 Итого O_j: - O1 = 3 + 2 + 3 = 8 - O2 = 4 + 3 + 2 = 9 - O3 = 6 + 8 + 7 = 21 - O4 = 1 + 2 + 2 = 5 - O5 = 4 + 3 + 4 = 11 - O6 = 2 + 2 + 2 = 6 E_j = 60 / 6 = 10 для всех j. X^2 = (8−10)^2/10 + (9−10)^2/10 + (21−10)^2/10 + (5−10)^2/10 + (11−10)^2/10 + (6−10)^2/10 = 0.4 + 0.1 + 12.1 + 2.5 + 0.1 + 1.6 = 16.8 16.8 > 11.07, значит p-значение меньше 0.05. Вывод: на таком объёме данных можно считать, что кубик несимметричен. 4) Что можно заключить по реальным данным - По графикам в сумме можно ожидать, что O_3 заметно превосходит E_3, в то же время другие грани отклоняются не так сильно, что даёт основание отвергнуть H0 при достаточно больших суммарном числе бросков. - Но для уверенного вывода нужно посчитать именно X^2 по точным числам из ваших серий. Если укажете точные counts из гистограмм (или сами посчитаете N_i и O_j), я без проблем посчитаю X^2 и дам окончательный вывод. 5) Что можно вынести и как аргументировать - За симметричность: все грани должны иметь примерно одинаковую частоту в совокупности большого числа бросков; различия должны быть в пределах случайной погрешности. - Против симметричности: одинаково выраженная пере- или недопредставленность одной грани в трех независимых сериях указывает на систематическую биасировку, особенно если один и тот же номер грани стабильно чаще встречается. 6) Рекомендации - Соберите данные точнее: укажите точное число бросков в каждой серии и сколько раз выпала каждая грань. - Посчитайте X^2 по всем сериям вместе (или по каждой серии отдельно с агрегированием) и сравните с критическим значением. - При желании могу помочь с точными вычислениями, если дадите счётчики по каждой грани для всех трёх серий. Короткий вывод: на основе визуальных данных Кубик Коли, судя по частотам, выглядит несимметричным — одна грань выпадает чаще остальных во всех трёх сериях. Но точный вывод требует подсчета количеств и численного критерия (хи-квадрат). Если хотите, пришлите точные числа и я посчитаю итоговую статистику и сделаю формальный вывод.