Построить график функций y=2x-3 , y=5x в разных системах координат

Задача: построить графики y = 2x - 3 и y = 5x в разных системах координат и понять их особенности.

1. В декартовой системе координат (обычные x и y, стандартный масштаб)

• Что за линии:
  • y = 2x - 3: наклон 2, y-перехват -3. Это прямая, пересекающая ось y в точке (0, -3) и ось x в точке (1.5, 0).
  • y = 5x: наклон 5, проходит через начало координат (0, 0).
• Несколько характерных точек:
  • Для y = 2x - 3 берём x = 0 → y = -3; x = 1 → y = -1; x = 2 → y = 1. Также пересечение двух графиков: решаем 2x - 3 = 5x → -3 = 3x → x = -1, y = -5. Итак, графики пересекаются в (-1, -5).
  • Для y = 5x берём (0,0), (1,5), (2,10).
• Как нарисовать:
  • Проведите две прямые: одну с точкой пересечения оси y в -3 и точкой (1, -1) и т.д.; вторую — через (0,0) и (1,5).
  • Отметьте их пересечение (-1, -5) и соедините плавной прямой.
• Ключевые свойства:
  • Эти две прямые не параллельны, так как их наклоны 2 и 5 различны.
  • Точки пересечения дают решение системы уравнений.

2. В полярной системе координат (r, θ) Полярная система: x = r cos θ, y = r sin θ.

• Общий факт: прямая через начало координат y = m x соответствует θ = arctan(m) (для полного охвата и обеих направлений θ = arctan(m) и θ = arctan(m) + π).
• Прямые в наших случаях:
  • y = 5x: через начало координат, угол наклона θ0 = arctan(5) ≈ 78.69°. В полярной системе график этой прямой задаёт линию по фиксированному θ: θ = arctan(5) (и дополнительно θ = arctan(5) + π для противоположного направления).
  • y = 2x - 3: прямая, не проходящая через начало координат. В полярной системе её можно записать как r cos(θ - φ) = p, где p — расстояние от начала координат до прямой, φ — угол нормали к прямой.
    • Приведём к конкретной форме: 2x - y - 3 = 0. Здесь a = 2, b = -1, c = -3. Расстояние от начала до прямой p = |c| / sqrt(a^2 + b^2) = 3 / sqrt(5) ≈ 1.3416.
    • Угол нормали φ задаётся направлением вектора (a, b) = (2, -1). tan φ = b/a = -1/2, поэтому φ ≈ -0.46365 rad ≈ -26.565°.
    • Тогда в полярной форме прямая задаётся как r = p / cos(θ - φ) ≈ 1.3416 / cos(θ + 0.46365).
• Как это построить на практике:
  • Для y = 5x: проведите линию через origin, образующую угол ≈ 78.69° с positive осью X.
  • Для y = 2x - 3: используйте формулу r = 1.3416 / cos(θ + 0.46365). В разных θ вычисляйте r и отмечайте точки, получая прямую не через начало координат.
• Примечание:
  • Два графика в полярной системе можно рассматривать как две прямые: одна через начало координат по углу arctan(5), другая — прямая не проходящая через начало, задаваемая формулой r = p / cos(θ - φ).

3. Система координат с неоднородным масштабом осей (изменённый масштаб по осям) Можно рассматривать изменение масштаба: x-ось масштабируем в A раз, y-ось в B раз (X = x/A, Y = y/B). Тогда исходная прямая y = m x + c в новых координатах примет другой вид.

• Связь: в новых координатах Y = (m A / B) X + (c / B).
• Применим к нашим линиям:
  • Для y = 2x - 3: m = 2, c = -3. Если, например, A = 2 и B = 1 (ось x в 2 раза длиннее оси y):
    • Наклон в новых координатах становится m' = m A / B = 2 * 2 / 1 = 4.
    • Перехват по оси Y: c' = c / B = -3.
    • Значит, в новой системе Y = 4X - 3.
  • Для y = 5x: m = 5. При тех же A = 2, B = 1:
    • m' = 5 * 2 / 1 = 10.
    • Перехват по оси Y остаётся 0, так как c = 0, поэтому Y = 10X.
• Что это значит на практике:
  • Геометрически прямая остаётся прямой, но её наклон относительно новых осей изменяется пропорционально отношению масштабов осей.
  • Если ось x растянуть сильнее по сравнению с осью y, наклон линии возрастает; если ось y растянуть сильнее, наклон уменьшается.
• Пример с другими масштабами:
  • Если A = 1, B = 2 (ось y в 2 раза длиннее оси x): для y = 2x - 3 получаем m' = 2 * 1 / 2 = 1,5, c' = -3 / 2 = -1,5, т.е. Y = 1.5 X - 1.5.
  • Для y = 5x: m' = 5 * 1 / 2 = 2.5, c' = 0, Y = 2.5 X.
• Практический вывод:
  • При изменении масштаба осей наклоны графиков меняются согласно правилу m' = m A / B, а точки пересечения с осями изменяются как c' = c / B.

4. Краткое резюме

• В обычной декартовой системе координат:
  • y = 2x - 3: наклон 2, y-перехват -3; пересечение с y-осью в (0, -3), с x-осью в (1.5, 0); пересечение графиков с y = 5x в (-1, -5).
  • y = 5x: наклон 5, проходит через (0,0); быстро растёт вверх.
• В полярной системе координат:
  • y = 5x соответствует θ = arctan(5) ≈ 78.69°.
  • y = 2x - 3 задаётся как r = p / cos(θ - φ), где p ≈ 1.3416, φ ≈ -26.565°.
• При изменении масштаба осей наклон графиков меняется: m' = m A / B, где A — масштаб по x, B — масштаб по y.
• В целом, геометрическая форма остаётся прямой в любой системе координат, но её параметры (наклон, перехваты, выражение через r и θ, или через новые оси) будут отличаться.

Если нужно, могу привести конкретные числовые примеры точек на графиках в каждой системе или помочь нарисовать по шагам на бумаге/чертеже.