Б) В треугольнике `ABC` со сторонами `AB=7`, `AC=3`, `BC=5` на продолжении стороны `BC` за точку `C` взята точка `K` так, что $$\angle KAC=\angle ABC$$.  Найти отрезок `KC`.

Задача говорит: в треугольнике ABC со сторонами AB = 7, AC = 3, BC = 5 на продолжении стороны BC за точку C взята точка K так, чтобы ∠KAC = ∠ABC. Найти KC. Решение по шагам 1) Определим координатную модель - Положим B = (0, 0), C = (5, 0) (то есть BC лежит вдоль оси x). - Найдём координаты A как пересечение окружностей пораждающих AB = 7 и AC = 3: x^2 + y^2 = 7^2 = 49 (x − 5)^2 + y^2 = 3^2 = 9 Вычитанием получаем 10x − 25 = 40 → x = 6.5 = 13/2. Подставляя в первое уравнение: y^2 = 49 − (13/2)^2 = 49 − 169/4 = (196 − 169)/4 = 27/4. Так что y = √(27/4) = (3√3)/2. Выбираем A с положительной ординатой. Значит A = (13/2, 3√3/2). 2) Найдём угол ∠ABC через векторное произведение/скалярное произведение - Вектор BA = A − B = (13/2, 3√3/2), BC = C − B = (5, 0). - Косинус угла ∠ABC: cos ∠ABC = (BA · BC) / (|BA||BC|) = ((13/2)·5) / (7·5) = (13/2)/7 = 13/14. 3) Параметризация точки K - Так как K лежит на продолжении BC за C, запишем K = (t, 0) при t > 5. - Векторы в треугольнике AK и AC: AC = C − A = (5 − 13/2, 0 − 3√3/2) = (−3/2, −3√3/2), |AC| = 3. AK = K − A = (t − 13/2, −3√3/2), |AK| = √[(t − 13/2)^2 + (27/4)]. 4) Условие ∠KAC = ∠ABC через косинусы - cos ∠KAC = (AK · AC) / (|AK||AC|). AK · AC = (t − 13/2)(−3/2) + (−3√3/2)(−3√3/2) = −(3/2)(t − 13/2) + 27/4 = −(3/2)t + 39/4 + 27/4 = −(3/2)t + 66/4 = −(3/2)t + 33/2. - Тогда cos ∠KAC = [−(3/2)t + 33/2] / (|AK| · 3) = [−t + 11] / (2|AK|). - По условию ∠KAC = ∠ABC, значит cos ∠KAC = cos ∠ABC = 13/14. Получаем уравнение (−t + 11) / (2√[(t − 13/2)^2 + 27/4]) = 13/14. 5) Решение уравнения - Обозначим X = t − 13/2. Тогда t = X + 13/2, и выражение становится (−(X + 13/2) + 11) / (2√(X^2 + 27/4)) = 13/14 ⇒ (−X + 9/2) / (2√(X^2 + 27/4)) = 13/14. - Возведение в квадрат даёт квадратное уравнение 80 X^2 + 294 X + 99 = 0. - Корни: X = (−294 ± 234) / 160, т.е. X1 = −3/8 = −0.375, X2 = −33/10 = −3.3. - Так как K лежит за C по продолжению BC, t = X + 13/2 должен быть больше 5. Для X1: t = 13/2 − 3/8 = 49/8 = 6.125 > 5 (приемлемо). Для X2: t = 13/2 − 33/10 = 65/10 − 33/10 = 32/10 = 3.2 < 5 (не подходит). Значит единственно допустимый выбор X = −3/8. 6) Найдём KC - t = 49/8, а C = (5, 0) = (40/8, 0). Тогда KC = t − 5 = 49/8 − 40/8 = 9/8. - Проверка: подстановка t в выражение для cos ∠KAC даёт cos ∠KAC = 13/14, как и требуется. Ответ: KC = 9/8. Численно это 1.125. Итого: KC = 9/8.