"Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в…

Классно, давай разбираться вместе.

Задача: в прямоугольном треугольнике (∠B = 90°) из вершины прямого угла проведены биссектриса BN и медиана BM к гипотенузе AC. Угол между BN и BM равен 14°. Найти меньший угол треугольника (то есть один из углов A или C).

Решение по шагам

• Пусть AB = a, BC = c. Тогда точка B — вершина прямого угла, а гипотенуза AC противоположна B.
• Биссектриса угла B в прямоугольном треугольнике лежит под углом 45° относительно обеих осей, поэтому направление BN — это линия с угловым коэффициентом 1 (посредине между осями).
• Медиана BM к гипотенузе в прямоугольном треугольнике идёт к середине гипотенузы, её направление имеет угловой коэффициент c/a (потому что BM идёт к точке M на диагонали AC с координатами относительно соотношения a и c).
• Угол между двумя прямыми BN (m1 = 1) и BM (m2 = c/a) даётся по формуле угла между прямыми: tan φ = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)|. Здесь φ = 14°, поэтому tan 14° = |(c/a − 1) / (1 + c/a)|. Пусть t = c/a. Тогда для t < 1 (меньший угол треугольника соответствует A, где tan A = t) имеем: tan 14° = (1 − t) / (1 + t).
• Решаем это уравнение: 1 − t = tan14° · (1 + t) 1 − tan14° = t · (1 + tan14°) t = (1 − tan14°) / (1 + tan14°) ≈ (1 − 0.2493) / (1 + 0.2493) ≈ 0.6007.
• Меньший угол треугольника равен arctan t: A = arctan(0.6007) ≈ 31°.

Вывод: меньший угол треугольника равен примерно 31°, поэтому ваш ответ 45° неверен.

Почему так получается: если бы меньший угол был 45°, то tan t = 1 и угол между BN и BM был бы 0°, что противоречит данному 14°. Ваше число 45° не удовлетворяет условию задачи.

Пожалуйста, поставь лайк или дизлайк этому объяснению.