В прямоугольном треугольнике угол между высотой биссектрисой, проведенный из вершины прямого угла равен 35°, найдите меньший угол прямоугольного треугольника, ответ дайте в градусах.

Решение (пошагово): 1) Обозначим треугольник ABC так, что угол при C — прямой. Пусть C = (0,0), A = (a,0) на оси x и B = (0,b) на оси y. Тогда CA = a, CB = b, а AB — гипотенуза. 2) Остановка высотой: высота из вершины C к AB перпендикулярна AB. Если AB имеет наклон -b/a, то высота CD будет иметь наклон a/b. Точка C — начало координат, поэтому уравнение высоты: y = (a/b)x. 3) Биссекция угла при C: угол ACB равен 90°, поэтому угловая биссектриса CE проходит под углом 45° к осям координат. Следовательно, CE — прямая y = x (наклон 1). 4) Угол между высотой CD и биссектрисой CE равен 35°. Используем формулу угла между двумя прямыми с наклонами m1 и m2: tanθ = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)|. Здесь m1 = a/b, m2 = 1, θ = 35°. Получаем: tan 35° = |(1 − a/b) / (1 + a/b)|. Положим r = a/b. Тогда (1 − r)/(1 + r) = tan 35°. Из этого решения: 1 − r = t(1 + r), где t = tan 35°, 1 − t = r(1 + t) ⇒ r = (1 − t) / (1 + t). 5) Теперь найдём большой и маленький углы треугольника. Тангенс угла при A равен противолежащему катету к соседнему: tan∠A = BC/AC = b/a = 1/r = (1 + t)/(1 − t) = tan(45° + 35°) = tan 80°. Значит ∠A = 80°. Тогда меньший угол треугольника — это ∠B = 90° − ∠A = 10°. Ответ: 10 градусов.