Проведите в прямоугольнике отрезок АВ так, чтобы периметр одного из полу-ченных прямоугольников был больше периметра другого прямоугольника: а) в 5 раз; б) в 3 раза; в) в 2 раза; г) в 1,4 раза.

Разберём задачу так, чтобы она была понятна и можно было применить к любой прямоугольной фигуре. 1) Предположим прямоугольник имеет ширину a (горизонтальная сторона) и высоту h (вертикальная сторона). Проведём отрезок AB параллельно боковой стороне, т.е. AB тянется вдоль всей ширины и делит прямоугольник на две меньшие прямоугольники: нижнюю высотой x и верхнюю высотой h − x (0 < x < h). Длина AB равна a. 2) Периметры двух получившихся прямоугольников: - нижний прямоугольник: P1 = 2(a + x), - верхний прямоугольник: P2 = 2(a + h − x). 3) Пусть периметр одного из половин больше другого в заданном отношении R. Пусть P1 ≥ P2 и P1 = R · P2, где R > 1 (для заданных случаев R будет 5, 3, 2 и 1,4 соответственно). 4) Найдём x через a, h и R: P1 = R P2 ⇒ 2(a + x) = R · 2(a + h − x) ⇒ a + x = R(a + h − x) ⇒ x(1 + R) = R(a + h) − a ⇒ x = [R(a + h) − a] / (R + 1). 5) Условия существования решения: чтобы отрезок реально лежал внутри прямоугольника, нужно 0 < x < h. Это эквивалентно 0 < [R(a + h) − a] / (R + 1) < h. Из этого следует ограничение на R: R ≤ 1 + h/a. То есть для заданного прямоугольника существует решение только если ratio R не превышает 1 + h/a. 6) Примеры расчётов для каждого случая (отношение R дано как отношение периметров большего к меньшему): а) R = 5 - x = [5(a + h) − a] / 6 = (4a + 5h) / 6. - Условие существования: h > 4a. - Пример: возьмём a = 1, h = 5 (выполняется условие, 5 > 4). Тогда x = (4·1 + 5·5)/6 = (4 + 25)/6 = 29/6 ≈ 4.83. Это означает, что нижний прямоугольник высотой ≈ 4.83, верхний ≈ 0.17, и его периметр в 5 раз больше периметра верхнего. б) R = 3 - x = [3(a + h) − a] / 4 = (2a + 3h) / 4. - Условие существования: h > 2a. - Пример: a = 1, h = 3 (3 > 2). x = (2·1 + 3·3)/4 = (2 + 9)/4 = 11/4 = 2.75. Нижний прямоугольник высотой 2.75, верхний 0.25; периметры в отношении 3:1. в) R = 2 - x = [2(a + h) − a] / 3 = (a + 2h) / 3. - Условие существования: h > a. - Пример: a = 1, h = 2 (2 > 1). x = (1 + 2·2)/3 = (1 + 4)/3 = 5/3 ≈ 1.667. Нижний прямоугольник высотой ≈ 1.667, верхний ≈ 0.333. г) R = 1,4 - x = [1,4(a + h) − a] / 2,4. Упростим: x = (0,4a + 1,4h) / 2,4 = (2a + 7h) / 12. - Условие существования: h > 0,4a. - Пример: a = 1, h = 1 (1 > 0,4). x = (2·1 + 7·1)/12 = 9/12 = 0.75. Нижний прямоугольник высотой 0.75, верхний 0.25. 7) Что если нужно наоборот получить P2 = R · P1 (то есть верхний блок — более периметриный)? Тогда можно просто взять x′ = h − x из формулы, получив аналогичное решение, или ввести правило: рассматривать R и подстановку, чтобы максимальный периметр приходился на нужный из двух частей. 8) Резюме - Чтобы разделить прямоугольник на две смежные прямоугольники одной стороны AB длиной a, найдите положение разреза x по формулам: - для P1/P2 = R: x = [R(a + h) − a] / (R + 1), - существование требует 0 < x < h, что эквивалентно R ≤ 1 + h/a. - Для заданных значений R (5, 3, 2, 1,4) формулы дают конкретные зависимости x(a,h): - R = 5: x = (4a + 5h)/6, нужно h > 4a. - R = 3: x = (2a + 3h)/4, нужно h > 2a. - R = 2: x = (a + 2h)/3, нужно h > a. - R = 1,4: x = (2a + 7h)/12, нужно h > 0,4a. Если у вас есть конкретные размеры исходного прямоугольника, могу подставить их и найти точное положение AB для каждого случая.