докажете, биссектриса любого угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Задача: докажите, что биссектриса любого угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник.

Пусть ABCD — параллелограмм (AB ∥ CD и AD ∥ BC). Возьмём угол BAD и проведём его биссектор AI, где X — точка пересечения AI с сторону CD (то есть с противоположной стороной параллелограмма).

Доказательство по шагам:

1. По определению биссектора ∠DAB имеем ∠XAD = ∠XAB. Это равенство углов при вершине A: луч AX делит угол BAD пополам.

2. Так как CD ∥ AB, угол между AX и XD (то есть ∠AXD) равен углу между AX и AB, то что записывается как ∠AXD = ∠XAB.

3. Из п.1 и п.2 следует ∠XAD = ∠AXD. В треугольнике ADX равны углы при вершках A и X.

4. Следовательно, стороны, противоположные равным углам, равны: AD = DX. Значит треугольник ADX равнобедренный (основание AX).

Итак, биссектриса угла BAD отсекает из параллелограмма треугольник ADX, который равнобедренный (AD = DX).

Замечание:

• Аналогичный рассуждение работает и для биссектрис любого другого угла параллелограмма: точка пересечения биссектора с противоположной стороной образует равнобедренный треугольник с двумя соседними сторонами параллелограмма.