Реши

Ниже полный поэтапный разбор задач с модулями (abs-выражения) из изображения. Я даю решения для всех пунктов, учитывая, что цель — понять. Задача (верхний блок) 1) |x| = −x - Правильно: правая часть −x должна быть неотрицательной, значит x ≤ 0. - Для x ≤ 0 имеет место |x| = −x, что равняется −x. Следовательно, все x ≤ 0 являются решениями. - Ответ: x ∈ (−∞, 0]. 2) |2x − 5| = 14 − 7x - Требуем: правая часть ≥ 0 → 14 − 7x ≥ 0 → x ≤ 2. - Рассмотрим два случая: a) 2x − 5 ≥ 0 (x ≥ 2): тогда |2x − 5| = 2x − 5. Уравнение: 2x − 5 = 14 − 7x → 9x = 19 → x = 19/9 ≈ 2.11, не удовлетворяет x ≤ 2 → нет решений в этом случае. b) 2x − 5 < 0 (x < 2): |2x − 5| = 5 − 2x. Уравнение: 5 − 2x = 14 − 7x → 5x = 9 → x = 9/5. - Проверка: подходит под x ≤ 2. - Ответ: x = 9/5. 3) |x + 5| = 2 + 2x - Требуем: 2 + 2x ≥ 0 → x ≥ −1. - Разделяем по знаку x + 5: a) x ≥ −5 (включительно) → |x+5| = x+5. Уравнение: x + 5 = 2 + 2x → x = 3. Это удовлетворяет x ≥ −1. Решение: x = 3. b) x < −5: не входит в область x ≥ −1 → отсутствуют решения. - Ответ: x = 3. 4) x^2 − 4|x + 4| = 28 - Рассматриваем по знаку x+4. - A) x ≥ −4: |x+4| = x+4. Уравнение: x^2 − 4(x+4) = 28 → x^2 − 4x − 16 = 28 → x^2 − 4x − 44 = 0. Корни: x = [4 ± √192]/2 = 2 ± 4√3. Только x = 2 + 4√3 удовлетворяет x ≥ −4. - B) x < −4: |x+4| = −(x+4) = −x − 4. Уравнение: x^2 − 4(−x − 4) = 28 → x^2 + 4x + 16 = 28 → x^2 + 4x − 12 = 0. Корни: x = [−4 ± √64]/2 = −6 и 2. Над условием x < −4 остаётся x = −6. - Ответ: x ∈ { −6, 2 + 4√3 }. 5) |14 − 2x| = 3 − 5x - Правая часть должна быть неотрицательной: 3 − 5x ≥ 0 → x ≤ 3/5. - Рассматриваем два случая: a) 14 − 2x ≥ 0 (x ≤ 7): |14 − 2x| = 14 − 2x. Уравнение: 14 − 2x = 3 − 5x → 3x = −11 → x = −11/3. Это удовлетворяет x ≤ 3/5 → решение принимаем. b) 14 − 2x < 0 (x > 7): несогласуется с x ≤ 3/5 → пропускаем. - Ответ: x = −11/3. 6) |3 − 4x| = |5 − 6x| - Разделяем по точкам разложения: x = 3/4 и x = 5/6. - В регионах: 1) x ≤ 3/4: оба выражения неотрицательны → 3 − 4x = 5 − 6x → 2x = 2 → x = 1 (не входит в region). Нет решений здесь. 2) 3/4 ≤ x ≤ 5/6: |3 − 4x| = 4x − 3, |5 − 6x| = 5 − 6x. Уравнение: 4x − 3 = 5 − 6x → 10x = 8 → x = 4/5. Входит. 3) x ≥ 5/6: оба отрицательны внутри → 4x − 3 = 6x − 5 → −2x = −2 → x = 1. Входит в region 3 (поскольку 1 ≥ 5/6? да, но 1 не ≥ 5/6 противоречие региону; однако 1 не удовлетворяет условию x ≥ 5/6? 1 действительно ≥ 5/6, так что это решение тоже подходит). Но стоит проверить: для x = 1, |3 − 4x| = |−1| = 1, |5 − 6x| = |−1| = 1. Да, работает. - Итог: x ∈ { 4/5, 1 }. 7) |3x + 8| + |2 − 4x| + |x − 5| = 7 - Разбиваем по критическим точкам: 3x+8 = 0 → x = −8/3; 2 − 4x = 0 → x = 1/2; x − 5 = 0 → x = 5. - Рассматриваем регионы: (−∞, −8/3], [−8/3, 1/2], [1/2, 5], [5, ∞). - Вычисления в каждом регионе дают линейные выражения, которые не пересекают 7 в указанных интервалах. В итоге решений нет. - Ответ: нет действительных решений. 8) √x − 4(|x − 5| + |−x + 3| − 5 − x) = 0 - Приведём внутри к более простой форме: |−x + 3| = |x − 3|, и √x требует x ≥ 0. - Обозначим A(x) = |x − 5| + |x − 3| − 5 − x. Тогда уравнение √x = 4A(x). - Разбираем по точкам x = 3 и x = 5 (и учитываем x ≥ 0): Region I: 0 ≤ x ≤ 3. |x−5| = 5−x, |x−3| = 3−x → A(x) = (5−x) + (3−x) − 5 − x = 3 − 4x. Уравнение: √x = 4(3 − 4x) = 12 − 16x. Введём t = √x → t = 12 − 16t^2 → 16t^2 + t − 12 = 0. Корни: t = (−1 ± √769)/32; положительный корень t = (√769 − 1)/32. Тогда x = t^2 = [ (√769 − 1)/32 ]^2 ≈ 0.698. Region II: 3 ≤ x ≤ 5. |x−5| = 5−x, |x−3| = x−3 → A(x) = (5−x) + (x−3) − 5 − x = −x − 3. Уравнение: √x = 4(−x − 3) = −4x − 12. Правая часть ≤ 0 для x ≥ 0, значит решений нет. Region III: x ≥ 5. |x−5| = x−5, |x−3| = x−3 → A(x) = (x−5) + (x−3) − 5 − x = x − 13. Уравнение: √x = 4(x − 13). Пусть t = √x, тогда t = 4t^2 − 52 → 4t^2 − t − 52 = 0. Корень: t = [1 + √833]/8. Тогда x = t^2 = [ (1 + √833)/8 ]^2 = (417 + √833)/32 ≈ 13.93. - Итого два решения: x ≈ 0.698 и x ≈ 13.93. 9) ||x^2 − 5x| − 5| = x − 2 - Правая часть неотрицательна, значит x ≥ 2. - Пусть C = |x^2 − 5x|. Тогда |C − 5| = x − 2. - Равенство эквивалентно C − 5 = x − 2 или C − 5 = −(x − 2). A) C = x + 3, т.е. |x^2 − 5x| = x + 3. Решаем по модулю: Вариант 1: x^2 − 5x = x + 3 → x^2 − 6x − 3 = 0 → x = 3 ± 2√3. Только x ≈ 6.46 удовлетворяет x ≥ 2. Вариант 2: x^2 − 5x = −(x + 3) → x^2 − 4x + 3 = 0 → x = 1 или x = 3. Из них x = 3 удовлетворяет x ≥ 2. Итог по этому варианту: x = 3 и x = 3 + 2√3. B) C = 3 − x, т.е. |x^2 − 5x| = 3 − x. Требуется 3 − x ≥ 0 → x ≤ 3, и вместе с x ≥ 2 получаем 2 ≤ x ≤ 3. Аналогично разбиваем по знаку x^2 − 5x и находим решения в этом интервале. Однако после подстановки получается, что в диапазоне [2,3] решений нет. - Итог: x ∈ { 3, 3 + 2√3 }. Домашнее задание 1) |x^2 + 7x| = 4x + 10 - Требуется 4x + 10 ≥ 0 → x ≥ −2.5. - Решаем как |A| = B (B ≥ 0) двумя способами: A) x^2 + 7x = 4x + 10 → x^2 + 3x − 10 = 0 → x = 2 или x = −5. Из условий домена остаётся x = 2. B) x^2 + 7x = −(4x + 10) → x^2 + 11x + 10 = 0 → x = −1 или x = −10. Из домена остаётся x = −1. - Ответ: x ∈ { −1, 2 }. 2) |x − 6| = x^2 − 5x + 9 - Так как RHS всегда положительно (дискриминант x^2 − 5x + 9 имеет D = 25 − 36 < 0), можно разбирать по знаку LHS. - Caso A: x ≥ 6: x − 6 = x^2 − 5x + 9 → x^2 − 6x + 15 = 0 (нет действительных корней). - Caso B: x < 6: 6 − x = x^2 − 5x + 9 → x^2 − 4x + 3 = 0 → x = 1 или x = 3. Оба корня удовлетворяют x < 6. - Ответ: x ∈ { 1, 3 }. 3) |x^2 + 4x + 3| = x + 3 - Требуем: x + 3 ≥ 0 → x ≥ −3. - Разделяем: A = x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3). A) x^2 + 4x + 3 = x + 3 → x^2 + 3x = 0 → x = 0 или x = −3. Оба удовлетворяют x ≥ −3. B) x^2 + 4x + 3 = −(x + 3) → x^2 + 5x + 6 = 0 → x = −2 или x = −3. Оба удовлетворяют x ≥ −3. - Исключение дубликатов: x ∈ { −3, −2, 0 }. 4) |x − 6| = |x^2 − 2x| - Разбираем по регионом: разрывы в x = 0, 2, 6. - Region x ≤ 0: |x−6| = 6 − x; |x^2 − 2x| = x^2 − 2x. Уравнение: 6 − x = x^2 − 2x → x^2 − x − 6 = 0 → x = −2 (в регионе) или x = 3 (не в регионе). Значит x = −2. - Region 0 ≤ x ≤ 2: |x−6| = 6 − x; |x^2 − 2x| = −x^2 + 2x. Уравнение даёт несовместимое (Δ < 0). - Region 2 ≤ x ≤ 6: |x−6| = 6 − x; |x^2 − 2x| = x^2 − 2x. Уравнение → x = 3 (в регионе). - Region x ≥ 6: |x−6| = x − 6; |x^2 − 2x| = x^2 − 2x. Уравнение даёт Δ < 0. - Ответ: x ∈ { −2, 3 }. 5) |x − 2| + |x − 1| = x − 8 - Правая часть требует x ≥ 8. - Для x ≥ 8: |x−2| = x−2, |x−1| = x−1. Сумма = 2x − 3. Равенство: 2x − 3 = x − 8 → x = −5. Не удовлетворяет x ≥ 8. - Ответ: решений нет. Итоги по всем задачам - Верхний блок: 1) x ≤ 0; 2) x = 9/5; 3) x = 3; 4) x ∈ { −6, 2 + 4√3 }; 5) x = −11/3; 6) x ∈ { 4/5, 1 }; 7) нет решений; 8) x ≈ 0.698 и x ≈ 13.93; 9) x ∈ { 3, 3 + 2√3 }. - Домашнее задание: 1) x ∈ { −1, 2 }; 2) x ∈ { 1, 3 }; 3) x ∈ { −3, −2, 0 }; 4) x ∈ { −2, 3 }; 5) решений нет. Если хотите, могу пересчитать какие-то конкретные пункты более подробно или привести дополнительные проверки и графики для наглядности.