сочетание на тему древнейшие люди

Вот задача по сочетаниям на тему древних людей и подробное решение.

Задача: В музее представлены черепа древних людей: 3 черепа Homo erectus (A), 2 черепа Homo neanderthalensis (B) и 2 черепа Homo sapiens (C). Сколькими способами можно выбрать 4 черепа так, чтобы среди выбранных был хотя бы один череп каждого вида?

Пояснение к решению (пошагово)

1. Определим возможные распределения количества черепов по видам во всём наборе

• Пусть a, b, c — количество выбранных черепов соответствующих видов A, B, C.
• Требуется: a + b + c = 4, при этом a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ 1.
• Возможные распределения (все перестановки типа (2,1,1)):
  • A имеет 2, B и C по 1: (2,1,1)
  • B имеет 2, A и C по 1: (1,2,1)
  • C имеет 2, A и B по 1: (1,1,2)

2. Посчитаем количество способов для каждого распределения

• Распределение (2,1,1) (A имеет 2, B и C по 1):
  • Выбор 2 из 3 черепов A: C(3,2) = 3
  • Выбор 1 из 2 черепов B: C(2,1) = 2
  • Выбор 1 из 2 черепов C: C(2,1) = 2
  • Всего для этого распределения: 3 × 2 × 2 = 12 способов
• Распределение (1,2,1) (B имеет 2):
  • Выбор 2 из 2 черепов B: C(2,2) = 1
  • Выбор 1 из 3 черепов A: C(3,1) = 3
  • Выбор 1 из 2 черепов C: C(2,1) = 2
  • Всего: 1 × 3 × 2 = 6 способов
• Распределение (1,1,2) (C имеет 2):
  • Выбор 2 из 2 черепов C: C(2,2) = 1
  • Выбор 1 из 3 черепов A: C(3,1) = 3
  • Выбор 1 из 2 черепов B: C(2,1) = 2
  • Всего: 1 × 3 × 2 = 6 способов

3. Суммируем все варианты 12 + 6 + 6 = 24 способа.

4. Проверка методом включения-исключения (опционально)

• Общее количество способов выбрать 4 черепа из 7: C(7,4) = 35.
• Без черепов вида A: выбрать 4 из B и C (всего 2 + 2 = 4): C(4,4) = 1.
• Без черепов вида B: выбрать 4 из A и C (3 + 2 = 5): C(5,4) = 5.
• Без черепов вида C: выбрать 4 из A и B (3 + 2 = 5): C(5,4) = 5.
• Никаких двойных вычеркиваний (одновременно без двух видов) невозможно, потому что не набирается 4 только из одного вида.
• По формуле включения-исключения: 35 − (1 + 5 + 5) = 24. Совпадение подтверждает ответ.

Ответ: 24 способа.

Дополнительно (настройка под класс): если хотите, могу привести аналогичные задачи с другим набором чисел или другим названием видов древних людей, чтобы попрактиковаться в сочетаниях.