Корень из 5

Задача: найти корень из 5, то есть sqrt(5). Пояснение и решение (пошагово, для средней школы) 1) Определение - sqrt(5) — положительное число x такое, что x^2 = 5. 2) Элементарная оценка - 2^2 = 4 и 3^2 = 9, значит sqrt(5) лежит между 2 и 3: 2 < sqrt(5) < 3. 3) Иррациональность sqrt(5) (кратко) - sqrt(5) не является рациональным числом. Доказательство в школьном виде: если sqrt(5) = a/b в несокр. виде, то 5b^2 = a^2. Это значит, что 5 делит a^2, отсюда 5 делит a. Запишем a = 5k, подстановка даёт 5b^2 = 25k^2, то есть b^2 = 5k^2, значит 5 делит b, противоречие с условием несократимости. Следовательно, sqrt(5) иррационально. 4) Методы приближения - Один из простых методов — метод Ньютона (для квадратного корня из числа N: x_{n+1} = (x_n + N/x_n)/2). - Здесь N = 5. Пусть начнём с x0 = 2 (удовлетворяет 2^2 = 4 < 5). Вычисления: - x1 = (2 + 5/2) / 2 = (2 + 2.5) / 2 = 4.5 / 2 = 2.25 - x2 = (2.25 + 5/2.25) / 2 ≈ (2.25 + 2.222...)/2 ≈ 4.472... / 2 ≈ 2.236111 - x3 = (2.236111 + 5/2.236111) / 2 ≈ (2.236111 + 2.236068) / 2 ≈ 4.472179 / 2 ≈ 2.236069 5) Итоговая приблизительная величина - sqrt(5) ≈ 2.2360679... - На практике достаточно записать sqrt(5) ≈ 2.236 (до трёх знаков после запятой) или ≈ 2.2361 (до четырёх знаков). 6) Проверка - Возведём приближённое значение в квадрат: 2.2361^2 ≈ 4.9999, что очень близко к 5, следовательно приближение корректно. 7) Геометрический смысл (для закрепления) - sqrt(5) — диагональ прямоугольника со сторонами 1 и 2 (по теореме Пифагора: sqrt(1^2 + 2^2) = sqrt(5)). Это наглядно объясняет, почему число примерно 2.236. Ответ - sqrt(5) ≈ 2.2360679... (приближённо 2.2361).