Докажите что множества точек сторон квадрата и множества точек вписанной в этот квадрат окружности равномощные

Задача: доказать, что множество точек сторон квадрата и множество точек вписанной в этот квадрат окружности равномощные. Обозначения: - S — множество точек на сторонах квадрата. - C — множество точек окружности, вписанной в этот квадрат (окружности вписана в квадрат). Идея решения: - Каждое из множеств можно поместить в билинейную биекцию с отрезком [0,1) (или [0,4), см. ниже). Тогда оба множества будут иметь кардинальность континуум (мощность множества вещественных чисел). Это доказывает их равномощность. Детальная конструкция: 1) Множество S (точки сторон квадрата) - Пусть квадрат имеет вершины A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1). Периметр квадрата равен 4. - Определим отображение p: [0,4) -> S, которое идёт по сторонам квадрата по часовой стрелке: - если t ∈ [0,1): p(t) = (t, 0) — точка на стороне AB; - если t ∈ [1,2): p(t) = (1, t-1) — на стороне BC; - если t ∈ [2,3): p(t) = (3-t, 1) — на стороне CD; - если t ∈ [3,4): p(t) = (0, 4-t) — на стороне DA. - Эта функция p под́ходит как биекция между [0,4) и S. Следовательно, S гадят эквивалентен [0,4) и по следующей причине: [0,4) взаимно однозначно эквивалентно [0,1) (например, t ↦ t/4). - Значит существует биекция f: S -> [0,1), например f(x) = t/4, где t — уникальное значение из [0,4), такое что p(t) = x. 2) Множество C (окружность, вписанная в квадрат) - Определим биекцию g: [0,1) -> C по углу: - g(u) = (0.5 + 0.5 cos(2πu), 0.5 + 0.5 sin(2πu)). - Для любых u1 ≠ u2 из [0,1) координаты из g(u1) и g(u2) различны, поэтому g — биекция между [0,1) и C. 3) Заведение биекции между S и C - Из п.1 имеем биекцию f: S -> [0,1). - Из п.2 имеем биекцию g: [0,1) -> C. - Тогда можно взять биекцию S -> C как h = g ∘ f. Это отображение похоже на композицию: сначала переводим точку S в число u ∈ [0,1) через f, затем это число переходим в точку кружности через g. Поскольку обе функции биективны, их композиция h также биективна. - Следовательно, S и C равномощны. Вывод: - Множество точек на сторонах квадрата и множество точек окружности, вписанной в этот квадрат, имеют одинаковую кардинальность — кардинальность континуума (мощность множества вещественных чисел). То есть они равномощны. Дополнительная ясность: - Можно также отметить общую идею: и линейный отрезок [0,1) и окружность (или её длина) имеют мощность континуум; поэтому любая конечная сумма таких множеств или их пары тоже имеют мощность континуум. Здесь мы показали конкретную биекцию между двумя множествами через общую модель [0,1).