Теорема косинуса для стороны r

Ниже подробное решение и объяснение теоремы косинуса именно для стороны r. Что говорит теорема косинуса (для стороны r) - Пусть треугольник имеет стороны p, q, r, где между сторонами p и q лежит угол R, а сторона r — противолежащая этому углу. Тогда: r^2 = p^2 + q^2 − 2 p q cos(R) - Аналогично можно выразить косинус угла: cos(R) = (p^2 + q^2 − r^2) / (2 p q) Пошаговое объяснение (почему так получается) 1) Поместим треугольник так, чтобы угол R находился в точке O, и стороны p и q выходили из этой точки. Пусть сторона p лежит вдоль оси x и заканчивается в точке A на (p, 0). Пусть другая сторона q образует угол R с стороной p и заканчивается в точке B в координатах (q cos R, q sin R). 2) Сторона r — это отрезок AB. Найдем его длину через расстояние между A и B: AB^2 = (p − q cos R)^2 + (0 − q sin R)^2 3) Раскроем скобки и воспользуемся тождеством cos^2 R + sin^2 R = 1: AB^2 = p^2 − 2 p q cos R + q^2 cos^2 R + q^2 sin^2 R = p^2 − 2 p q cos R + q^2 (cos^2 R + sin^2 R) = p^2 − 2 p q cos R + q^2 = p^2 + q^2 − 2 p q cos R 4) Таким образом, r^2 = p^2 + q^2 − 2 p q cos R, что и есть теорема косинуса для стороны r. Примеры применения - Пример 1: p = 5, q = 7, угол R = 60°. cos R = cos 60° = 1/2 r^2 = 5^2 + 7^2 − 2·5·7·(1/2) = 25 + 49 − 35 = 39 r = sqrt(39) ≈ 6.245 - Пример 2: даны p = 6, q = 8 и r = 7. Найдем угол R. cos(R) = (p^2 + q^2 − r^2) / (2 p q) = (36 + 64 − 49) / (2·6·8) = 51 / 96 ≈ 0.53125 R ≈ arccos(0.53125) ≈ 57.9° Дополнительные заметки - Эта формула применяется ко всем треугольникам: если r — сторона, противолежащая углу R, и p, q — две другие стороны, тогда r^2 = p^2 + q^2 − 2 p q cos R. - Если угол R называют иначе, формула записывается аналогично, просто подставляются соответствующие стороны и угол. Если хочешь, могу привести конкретное решение твоей задачи по заданным значениям p, q и R или по заданной r, найти угол R. Просто скажи известные числа.