№ 1. Найдите основание АД равнобедренной трапеции, если меньшее основание ВС = 8 см, боковая сторона АВ = 10 см, а угол Д = 60 градусов.

Задача: найти основание AD в равнобедренной трапеции AB = CD = 10 см, меньшего основания BC = 8 см и угла D = 60°.

1. Обозначения и предположения

• Пусть AD и BC — параллельные основания, AB и CD — боковые равные стороны.
• Разместим трапецию на координатной плоскости: A(0, 0), D(L, 0) (то есть AD = L), B(x, h), C(x + 8, h) ( BC = 8, высота h ).

2. Уравнения по длинам боковых сторон

• AB = 10: x^2 + h^2 = 100. (1)
• CD = 10: (L − (x + 8))^2 + h^2 = 100. (2)

3. Связь L и x Из (1) и (2): (L − x − 8)^2 = x^2. Это даёт два варианта:

• L − x − 8 = x → L − 8 = 2x → x = (L − 8)/2.
• L − x − 8 = −x → L = 8 (в этом случае трапеция становится прямоугольником, что противоречит углу D = 60°). Значит берём первый вариант: x = (L − 8)/2.

3. Связь угла D с висотой Угол D образуется между основанием AD (горизонталь) и боковой стороной CD. Тангенс угла D равен отношению высоты h к горизонтальной подстановке (L − x − 8). Но из предшествующего пункта L − x − 8 = x. Поэтому: tan D = h / x. Дано D = 60°, значит tan D = √3, следовательно h = √3 · x.

4. Подстановка в уравнение AB Из x^2 + h^2 = 100 и h = √3 x получаем: x^2 + (√3 x)^2 = 100 x^2 + 3x^2 = 100 4x^2 = 100 → x^2 = 25 → x = 5 (х положительное, поскольку x — горизонтальный сдвиг).

Тогда h = √3 · 5 = 5√3.

5. Найдём AD Из связи x = (L − 8)/2 получаем: 5 = (L − 8)/2 → L − 8 = 10 → L = 18.

Ответ: основание AD равно 18 см.

Проверка:

• AB = √(x^2 + h^2) = √(25 + 75) = 10 cm — верно.
• CD = √((L − x − 8)^2 + h^2) = √(5^2 + 75) = 10 cm — верно.
• tan D = h / (L − x − 8) = (5√3) / 5 = √3 → D = 60°. Все условия выполнены.