"Прямая y=8x-9 является касательной к графику функции y=x3+x2+8x-9. Найдите абсциссу точки касания."

Классная задача, давай разберёмся по шагам и поймём, почему ответ "1" неверный.

Кратко суть: прямая y = 8x - 9 должна быть касательной к кривой f(x) = x^3 + x^2 + 8x - 9. Абсцисса точки касания — это искомый x0.

1. Условия касания

• Поскольку касательная к графику имеет тот же наклон, что и производная кривой в точке касания: f'(x0) = 8.
• Производная: f'(x) = 3x^2 + 2x + 8.
• Решаем: 3x^2 + 2x + 8 = 8 → 3x^2 + 2x = 0 → x(3x + 2) = 0 → x0 = 0 или x0 = -2/3.

2. Проверяем каждое возможное x0 на совпадение функции и заданной касательной

• Для x0 = 0:

  • f(0) = 0^3 + 0^2 + 8·0 - 9 = -9.
  • Уравнение касательной через (0, f(0)) с угловым коэффициентом 8: y = 8(x - 0) + (-9) = 8x - 9.
  • Это именно данная прямая, значит касание действительно в точке x = 0.

• Для x0 = -2/3:

  • f(-2/3) = (-2/3)^3 + (-2/3)^2 + 8(-2/3) - 9 = -383/27.
  • Прямая касания в этой точке имела бы вид: y = 8(x + 2/3) + f(-2/3) = 8x + 16/3 - 383/27, которая не совпадает с y = 8x - 9.
  • Значит эта точка не даёт нужную касательную.

3. Итог

• Единственная абсцисса точки касания — x0 = 0.
• Ваш ответ "1" неверен, потому что при x = 1 производная равна f'(1) = 3·1^2 + 2·1 + 8 = 13, не равно 8, и пункт 2 не выполняется. А при проверке на совпадение значений f(1) и 8·1 - 9 тоже не совпадают, поэтому касания нет в x = 1.

Ответ: абсцисса точки касания равна 0.

Хочешь, попробую ещё вариант решения в виде одной системы уравнений или дам короткое резюме в виде формулы? Поставь лайк/дизлайк.