х-2у /х 2 -4у 2

Задача: (x − 2y) / (x^2 − 4y^2)

Пошаговое решение и объяснение

1. Признание разности квадратов

• Заметим, что x^2 − 4y^2 можно разложить как разность квадратов: x^2 − 4y^2 = (x − 2y)(x + 2y).

2. Упрощение дроби

• Подставляем разложение в выражение: (x − 2y) / [(x − 2y)(x + 2y)].
• Можно сократить общий множитель (x − 2y), но только если он не равен нулю: = 1 / (x + 2y), при условии x − 2y ≠ 0, то есть x ≠ 2y.

3. Ограничения (область определения)

• Исходное выражение определено тогда и только тогда, когда знаменатель не равен нулю: x^2 − 4y^2 ≠ 0, что эквивалентно (x − 2y)(x + 2y) ≠ 0. Следовательно, x ≠ 2y и x ≠ −2y.
• После сокращения получаем 1/(x + 2y), но это выражение допустимо только при тех же ограничениях: x ≠ 2y и x ≠ −2y.

Итого

• Упрощённое выражение: 1/(x + 2y)
• При условиях: x ≠ 2y и x ≠ −2y

Пример проверки

• Пусть x = 1, y = 0: Оригинал: (1 − 0) / (1^2 − 0) = 1/1 = 1. Упрощение: 1 / (1 + 0) = 1.
• Пусть x = 2, y = 1: Оригинал: (2 − 2) / (4 − 4) = 0/0, неопределённо. Упрощение: 1 / (2 + 2) = 1/4, но это неверно для исходного выражения, потому что исходное определение нарушено (знаменатель был равен нулю). Поэтому такие пары (x, y) нужно исключать из области определения.