ABCD - ромб, AB=BD Найти: углы ромба

Решение:

• В ромбе все стороны равны, значит AB = AD = s.
• Рассмотрим треугольник ABD. Это равнобедренный треугольник с равными сторонами AB = AD = s. Обозначим угол при A как ∠DAB = α.
• По теореме cos в треугольнике ABD: BD^2 = AB^2 + AD^2 − 2·AB·AD·cosα = s^2 + s^2 − 2s^2 cosα = 2s^2(1 − cosα).
• По условию AB = BD, следовательно BD^2 = AB^2 = s^2. Подставляем: s^2 = 2s^2(1 − cosα) ⇒ 1 = 2(1 − cosα) ⇒ 1/2 = 1 − cosα ⇒ cosα = 1/2.
• Значение α в диапазоне (0°, 180°): α = 60°. Это угол ∠A = ∠DAB.
• В ромбе противоположные углы равны, а соседние суммы 180°. Значит: ∠A = ∠C = 60°, а ∠B = ∠D = 180° − 60° = 120°.

Ответ:

• углы ромба: ∠A = 60°, ∠B = 120°, ∠C = 60°, ∠D = 120°.