ABCD-ромб, AB=BD Найти: углы ромба

Задача: в ромбе ABCD дано AB = BD. Найдем углы ромба.

Пусть AB = AD = s, а угол BAD = α = угол A ромба.

По теоремe косинусов в треугольнике ABD: BD^2 = AB^2 + AD^2 − 2·AB·AD·cos α = s^2 + s^2 − 2s^2 cos α = 2s^2(1 − cos α).

Условие AB = BD дает BD^2 = AB^2 = s^2. Тогда: s^2 = 2s^2(1 − cos α) ⇒ 1 = 2(1 − cos α) ⇒ 1 = 2 − 2cos α ⇒ cos α = 1/2.

Отсюда α = ∠A = 60°. В ромбе противоположные углы равны, а соседние углы суммируются до 180°: ∠C = 60°, ∠B = ∠D = 180° − 60° = 120°.

Ответ: углы ромба ABCD равны A = 60°, B = 120°, C = 60°, D = 120°.