Исследуйте функцию на ограниченность y=-2x²-6x+15

Решение задачи: исследовать на ограниченность функцию y = -2x^2 - 6x + 15. Что значит ограниченная функция - Функция ограничена сверху, если существует M such that y ≤ M для всех x. - Функция ограничена снизу, если существует m such that y ≥ m для всех x. - Для этой квадратичной функции с a = -2 (открывается вниз) обычно она ограничена сверху и не ограничена снизу: значение y растёт до некоторого максимума и затем убывает к -∞ при |x|→∞. 1) Найдём вершину параболы (максимум) - Способ 1 (формула вершины): для y = ax^2 + bx + c вершина находится в x_v = -b/(2a). Здесь a = -2, b = -6, поэтому x_v = -(-6)/(2·(-2)) = 6/(-4) = -3/2. Значение в вершине: y_v = f(-3/2). f(-3/2) = -2(-3/2)^2 - 6(-3/2) + 15 = -2·(9/4) + 9 + 15 = -9/2 + 24 = 24 - 4.5 = 19.5 = 39/2. - Следовательно, максимум достигается в x = -3/2 и равен y_max = 39/2. 2) Способ 2 (сведение к квадрату) - y = -2x^2 - 6x + 15 - y = -2(x^2 + 3x) + 15 - x^2 + 3x = (x + 3/2)^2 - (3/2)^2 - y = -2[(x + 3/2)^2 - 9/4] + 15 = -2(x + 3/2)^2 + (9/2) + 15 - y = -2(x + 3/2)^2 + 39/2. - Это явным образом показывает, что максимум достигается при x = -3/2, где y = 39/2. 3) Вывод об ограниченности - Так как парабола открывается вниз, функция ограничена сверху: y ≤ 39/2. - Несмотря на это, функция не ограничена снизу: при больших |x| значение уходит в -∞. - Диапазон значений (множество значений функции): (-∞, 39/2]. Ответ - Функция ограничена сверху, не ограничена снизу. - Максимум: y_max = 39/2, достигается при x = -3/2. - Диапазон: (-∞, 39/2].