|3x-8|-|3x-2|=6

Задача: |3x-8| - |3x-2| = 6 Пошаговое решение 1) Найдем точки разрыва абсолютных значений - 3x - 8 = 0 → x = 8/3 - 3x - 2 = 0 → x = 2/3 Эти точки делят числовую ось на три интервала: (-∞, 2/3), [2/3, 8/3], (8/3, ∞) 2) Разберём каждый интервал, подставляя знаки выражений под модулем - Интервал 1: x < 2/3 3x-8 < 0, 3x-2 < 0 |3x-8| = -(3x-8) = -3x+8 |3x-2| = -(3x-2) = -3x+2 Уравнение превращается в: (-3x+8) - (-3x+2) = 6 Левая часть: -3x+8 + 3x - 2 = 6 → 6 = 6 (тождество) Значит, для любого x в данном интервале уравнение выполняется. Следовательно, все x < 2/3 являются решениями. - Интервал 2: 2/3 ≤ x ≤ 8/3 3x-2 ≥ 0, 3x-8 ≤ 0 |3x-8| = -(3x-8) = -3x+8 |3x-2| = 3x-2 Уравнение: (-3x+8) - (3x-2) = 6 -3x+8 -3x + 2 = 6 → -6x + 10 = 6 → -6x = -4 → x = 2/3 В этом интервале единственное решение — x = 2/3. (Проверка: на границе x = 2/3 подходит.) - Интервал 3: x > 8/3 3x-8 > 0, 3x-2 > 0 |3x-8| = 3x-8 |3x-2| = 3x-2 Уравнение: (3x-8) - (3x-2) = 6 3x-8 -3x + 2 = 6 → -6 = 6 — противоречие, решений нет. 3) Сводка - В первом интервале все x < 2/3 являются решениями. - Во втором интервале решение только x = 2/3. - В третьем интервале решений нет. Итог: решение уравнения — all real x such that x ≤ 2/3. Проверка примерами - x = 0: |0-8| - |0-2| = 8 - 2 = 6 ✔ - x = -1: |-11| - |-5| = 11 - 5 = 6 ✔ - x = 1: |3-8| - |3-2| = 5 - 1 = 4 ≠ 6 (не решение) - x = 2/3: |2 - 8| - |0| = 6 - 0 = 6 ✔ Ответ: x ≤ 2/3.