Реши задачу 9,11,12

Ниже пошаговые решения для задач 9, 11 и 12. Задача 9 - Пусть A(0,0,0), B(21,0,0), D(0,20,0), A1(0,0,23), C(21,20,0). - Прямая плоскость через A, A1 и C образует сечение параллелепипеда. Эта плоскость вертикальна по отношению к оси z и пересекает параллелепипед по прямоугольнику с вершинами A, C, C1 и A1. - Сторона, параллельная AA1, равна 23. - Другая сторона — длина диагонали базового прямоугольника AC: AC = sqrt(AB^2 + AD^2) = sqrt(21^2 + 20^2) = sqrt(441 + 400) = sqrt(841) = 29. - Площадь сечения: S = 23 × 29 = 667. Ответ задачи 9: 667. Задача 11 - В правильной четырехугольной призме база — квадрат со стороной s. Пусть высота призмы равна h. - Длина диагонали по пространству BD1: BD1 = sqrt( (D→B1) ) = sqrt( s^2 + s^2 + h^2 ) = sqrt(2s^2 + h^2 ). - По условию BD1 = 2AD = 2s. Значит sqrt(2s^2 + h^2) = 2s → h^2 = 2s^2. - Векторы диагоналей: - DB1 = B1 − D = (s, −s, h) - AC1 = C1 − A = (s, s, h) При h = s√2 имеем: - DB1 ∙ AC1 = s^2[(1)(1) + (−1)(1) + (√2)(√2)] = s^2(1 − 1 + 2) = 2s^2 - |DB1| = sqrt(s^2 + s^2 + h^2) = sqrt(2s^2 + h^2) = sqrt(4s^2) = 2s - |AC1| = sqrt(s^2 + s^2 + h^2) = 2s - Косинус угла между диагоналями: cos φ = (DB1 ∙ AC1) / (|DB1||AC1|) = (2s^2) / (4s^2) = 1/2. - Угол φ = arccos(1/2) = 60°. Ответ задачи 11: 60 градусов. Задача 12 - В прямоугольном параллелепипеде заданы AB = 6, AD = 8, AA1 = 21 (высота не участвует напрямую в вычислении синуса). - Направления: - A1D1 — вдоль стороны y: A1D1 = (0, 8, 0) (напрямую вдоль AD). - AC — диагональ базового прямоугольника: AC = (6, 8, 0). - Длина векторов: |A1D1| = 8, |AC| = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = 10. - Косинус угла между ними: cos θ = (A1D1 ∙ AC) / (|A1D1||AC|) = (0·6 + 8·8 + 0·0) / (8·10) = 64/80 = 4/5. - sin θ = sqrt(1 − cos^2 θ) = sqrt(1 − (16/25)) = sqrt(9/25) = 3/5. Ответ задачи 12: sin угла = 3/5.