PDB - треугольник. A и N - середины сторон BD и BP соответственно. Докажите, что PD || a

Дано: в треугольнике PDB точки A и N — середины сторон BD и BP соответственно. Требуется доказать, что PD параллельно прямой a, где, по контексту, a — прямая AN (то есть ABN? — AN).

Пояснение и решение

1. Применим теорему о середине стороны треугольника (серединный сегмент).

• В треугольнике BDP точка A — середина BD, точка N — середина BP.
• Отрезок AN соединяет середины двух сторон треугольника BDP.

2. Серединный отрезок параллелен третьей стороне.

• По средней теоремe AN ∥ DP.

3. Введём обозначение a.

• Если a обозначает прямую AN, то из п.2 следует PD ∥ a.

Дополнительное обоснование (одна из возможных прямых проверок)

• Рассмотрим треугольники ABN и DBP, где A лежит на BD, N на BP.
• AB = BD/2 и BN = BP/2 (так как A и N — середины соответствующих сторон).
• Угол ABN совпадает с углом DBP, так как AB лежит на BD, BN лежит на BP.
• По SAS-условию треугольники ABN и DBP сходятся, следовательно соответствующие стороны AN и DP параллельны.
• Это снова даёт AN ∥ DP, то есть PD ∥ a.

Итого: PD ∥ a.