В угол А, градусная мера которого равна 60°, вписана окруж-ность, которая касается сторон данного угла в точках В и С. Луч, лежащий внутри угла ВАЄ, пересекает окружность в точках…

Имеем угол A = 60°, окружность вписана в этот угол и касается его сторон AB и AC в точках B и C. Через A проведена луч, которая пересекает окружность в точках P и Q; данные: AP = 3, PQ = 9. Значит AQ = AP + PQ = 12.

Цель — найти периметр треугольника ABC (AB = AC, поскольку из одной точки касания к окружности как к внешней точке можно провести две касательные).

1. Мощность точки A относительно окружности: Pow(A) = AP · AQ = 3 · 12 = 36.

2. Связь AO, r и угол A: Пусть центр окружности O, радиус r. Окружность касается обеих лучей AB и AC, значит O лежит на биссектрисе угла A. Угол между AO и AB равен 30°. Прямая AO образует с перпендикуляром к AB (расстоянием до круга) треугольник с гипотенузой AO и противолежащим катетом r, потому r = AO · sin 30° = AO/2. Следовательно AO = 2r.

3. Мощность через AO и r: Pow(A) = AO^2 − r^2 = (2r)^2 − r^2 = 4r^2 − r^2 = 3r^2.

С учетом пункта 1: 3r^2 = 36 → r^2 = 12 → r = 2√3.

4. Длина касательной AB (и AC) от точки A к окружности: AB^2 = AO^2 − r^2 = (2r)^2 − r^2 = 3r^2 = 3·12 = 36 → AB = 6. Поскольку AB = AC (касательные из одной точки к окружности), имеем AC = 6.

5. Длина BC: В треугольнике ABC стороны AB = AC = 6, угол между ними ∠A = 60°. По теореме косинусов: BC^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC·cos ∠A = 6^2 + 6^2 − 2·6·6·cos 60° = 36 + 36 − 72·(1/2) = 72 − 36 = 36 → BC = 6.

6. Периметр: P = AB + BC + CA = 6 + 6 + 6 = 18.

Ответ: 18