№ 1. Найдите основание АД равнобедренной трапеции, если меньшее основание ВС = 8 см, боковая сторона АВ = 10 см, а угол Д = 60 градусов.

Задача: равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC (AD ∥ BC), BC = 8 см, боковая сторона AB = 10 см, угол D = 60°. Найти AD.

Пояснение и решение:

• В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, значит угол A равен углу D. Следовательно, угол A тоже 60°.
• Рассмотрим горизонтальные проекции боковых сторон на направление основания. Для стороны AB длиной 10 см и углом 60° к основанию их горизонтальная проекция равна AB · cos 60° = 10 · 1/2 = 5 см. То же для стороны CD: CD · cos 60° = 10 · 1/2 = 5 см.
• Разность длин оснований равна сумме этих горизонтальных проекций: AD − BC = 5 + 5 = 10 см.
• Следовательно, AD = BC + 10 = 8 + 10 = 18 см.

Проверка (кратко): можно также задать координаты и проверить расстояние CD = 10, что даёт AD = 18 или AD = 8. Но AD = 8 приводил бы к параллелограмму (две пары параллельных сторон), а задача требует именно равнобедренную трапецию, поэтому выбираем AD = 18 см.

Ответ: AD = 18 см.