|х²+3х|=2(х+1)

Задача: |x^2 + 3x| = 2(x + 1) Подход 1. Разбиение по знаку выражения под модулем 1) Так как слева стоит модуль, а справа стоит выражение 2(x+1), которое может быть отрицательным, первым делом заметим: для равенства |A| = B с B∈R обязательно должно выполняться B ≥ 0. Поэтому x ≥ -1. Однако हमने оставить решение по обеим ветвям, чтобы показать полноту. 2) Разделим по знаку внутри модуля A = x^2 + 3x. - Ветка A: x^2 + 3x ≥ 0 и тогда уравнение становится x^2 + 3x = 2(x+1). Решаем: x^2 + 3x = 2x + 2 → x^2 + x - 2 = 0 → (x+2)(x-1) = 0 → x = 1 или x = -2. Но при условии A нужно, чтобы x^2 + 3x ≥ 0. Для x = 1: A = 4 ≥ 0, соответствует. Для x = -2: A = 4 - 6 = -2 < 0, не подходит. Значит из этой ветки принимаем x = 1. - Ветка B: x^2 + 3x < 0 и тогда уравнение становится -(x^2 + 3x) = 2(x+1), то есть -x^2 - 3x = 2x + 2. Перепишем: x^2 + 5x + 2 = 0 → x = [-5 ± √(25 - 8)]/2 = (-5 ± √17)/2. Нужно дополнительно проверить условие x^2 + 3x < 0 и x ≥ -1 (так как 2(x+1) должен быть неотрицательен). Для корня x = (-5 + √17)/2 ≈ -0.438: A = x^2 + 3x ≈ -1.12 < 0, а x ≥ -1 – верно. Значит этот корень подходит. Для корня x = (-5 - √17)/2 ≈ -4.56: A ≈ 7.12 > 0, условие A < 0 не выполняется, значит этот корень не подходит. 3) Итого из первого подхода получаем решения: x = 1 и x = (-5 + √17)/2. Проверка на оригинальном уравнении показываaет: - для x = 1: |1^2 + 3·1| = |4| = 4, RHS = 2(1+1) = 4 — верно. - для x = (-5 + √17)/2: можно подставить, это решение из равенства с учетом знака; численно LHS ≈ 1.124, RHS ≈ 1.124 — верно. Подход 2 (быстрый и аккуратный): квадратирование с проверкой 1) Возьмём обе стороны и возведём в квадрат: (x^2 + 3x)^2 = [2(x+1)]^2 = 4(x+1)^2. 2) Применим разность квадратов: (x^2 + 3x - 2(x+1)) · (x^2 + 3x + 2(x+1)) = 0. Это даёт два множителя: - x^2 + x - 2 = 0 → (x+2)(x-1) = 0 → x = 1 или x = -2. - x^2 + 5x + 2 = 0 → x = (-5 ± √17)/2. 3) Это решение квадратированного уравнения может давать ложные корни, потому что оригинал требует 2(x+1) ≥ 0 (помещено в модуль). Проверяем каждое найденное значение в исходном уравнении: - x = 1: подходит (как выше). - x = -2: подстановкой получаем LHS = 2, RHS = -2 — не подходит. - x = (-5 + √17)/2: подходит (проверка аналогична первой ветке). - x = (-5 - √17)/2: не подходит (или по знаку, или по проверке). 4) Окончательный ответ совпадает: x = 1 и x = (-5 + √17)/2. Ответ: x ∈ {1, (-5 + √17)/2} (примерно x ≈ 1 и x ≈ -0.438).