lim x infty ^ 11 x infty (ln(5x + 7) - ln(5x - 3)) ) lim x -> ∞ ((x ^ 2 + 3)/(x ^ 2 - 3)) ^ (x ^ 2) 3) lim x -> 0 (ln(1 - 7x))/x lim x -> 0 (6 ^ x - 2 ^ x)/(x ^ 2 + x)

Ниже решения по каждой из четырёх пределов с пошаговыми объяснениями.

1. lim_{x→∞} (ln(5x + 7) − ln(5x − 3))

• Используем свойство логарифмов: ln(a) − ln(b) = ln(a/b). L = lim_{x→∞} ln((5x + 7)/(5x − 3)).
• Преобразуем дробь: (5x + 7)/(5x − 3) = 1 + 10/(5x − 3). Тогда L = lim_{x→∞} ln(1 + 10/(5x − 3)).
• Поскольку 10/(5x − 3) → 0, имеем стандартный предел ln(1 + u) → 0 при u → 0. Следовательно, L = 0.

Ответ: 0

2. lim_{x→∞} [((x^2 + 3)/(x^2 − 3))^{x^2}]

• Запишем базу как 1 плюс маленькую поправку: (x^2 + 3)/(x^2 − 3) = 1 + 6/(x^2 − 3). Обозначим A(x) = 1 + 6/(x^2 − 3). Тогда предел имеет вид A(x)^{x^2}.

• Возьмём логарифм: ln L = lim_{x→∞} x^2 · ln(1 + 6/(x^2 − 3)).

• При малом u: ln(1 + u) ≈ u. Здесь u = 6/(x^2 − 3) → 0, поэтому ln L = lim x^2 · [6/(x^2 − 3) + o(1/x^2)] = lim 6 · x^2/(x^2 − 3) + o(1) = 6 · 1 + 0 = 6.

• Значит L = e^6.

Ответ: e^6

3. lim_{x → 0} [ln(1 − 7x)]/x

• Пусть u = −7x. Тогда u → 0, и ln(1 − 7x) = ln(1 + u).
• Из стандартного предела ln(1 + u)/u → 1 при u → 0 получаем: [ln(1 − 7x)]/x = [ln(1 + u)]/(−u/7) → (1) · (−7) = −7.

Ответ: −7

4. lim_{x → 0} (6^x − 2^x)/(x^2 + x)

• Разложим экспоненциальное представление степенных функций: 6^x = e^{x ln 6} ≈ 1 + x ln 6 + (x^2)(ln 6)^2/2 + ... 2^x = e^{x ln 2} ≈ 1 + x ln 2 + (x^2)(ln 2)^2/2 + ...
• Номер в числителе: 6^x − 2^x ≈ x(ln 6 − ln 2) + (x^2/2)[(ln 6)^2 − (ln 2)^2] + ... Но ln 6 − ln 2 = ln(6/2) = ln 3, т.е. первая часть ≈ x ln 3.
• Деномента: x^2 + x = x(1 + x).
• Следовательно (6^x − 2^x)/(x^2 + x) ≈ [x ln 3 + O(x^2)] / [x(1 + x)] → ln 3, при x → 0.

Ответ: ln 3

Итоговые ответы:

• lim_{x→∞} (ln(5x + 7) − ln(5x − 3)) = 0
• lim_{x→∞} [((x^2 + 3)/(x^2 − 3))^{x^2}] = e^6
• lim_{x→0} [ln(1 − 7x)]/x = −7
• lim_{x→0} (6^x − 2^x)/(x^2 + x) = ln 3

Если нужно, могу привести альтернативные методы для каждого предела (например, применение l'Hôpital там, где уместно).