2. Внутри равностороннего треугольника RNY со стороной 15 случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется в пределах треугольника, вершинами…
2. Внутри равностороннего треугольника RNY со стороной 15 случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется в пределах треугольника, вершинами которого являются середины сторон RNY.
Цель: понять и получить детальное решение.
Задача: Внутри равностороннего треугольника RNY со стороной 15 выбирается случайная точка. Найдите вероятность, что она попадёт в треугольник, вершины которого являются середины сторон оригинального треугольника.
Решение:
Факт: Медианский (медианный) треугольник, вершины которого — середины сторон исходного треугольника, подобен исходному треугольнику и его линейный коэффициентSimilar = 1/2.
Следовательно, площади связаны квадратичным законом масштабирования: S_medial = (1/2)^2 · S_original = 1/4 · S_original.
Так как вероятность попасть в медианный треугольник равна отношению его площади к площади исходного треугольника, получаем: P = S_medial / S_original = 1/4.
Для конкретного числа стороны a = 15 площадь исходного треугольника равна A = (√3/4) a^2 = (√3/4) · 15^2 = (225√3)/4. Тогда площадь медианного треугольника равна A/4 = (225√3)/16. Но отношение равно 1/4, как уже найдено.
Ответ: вероятность равна 1/4 (0.25, 25%).
Дополнительно заметка: Этот результат справедлив не только для равностороннего треугольника — для любого треугольника треугольник, вершины которого — середины сторон, имеет площадь, равную четверти площади исходного.
