Реши

Ниже решения по всем неравенствам из изображения. Я дам подробные шаги и объяснения. 1) Решите неравенство a) x^2 − 2x − 15 < 0 - Раскроем на множители: x^2 − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3). - Неравенство: (x − 5)(x + 3) < 0. - Знаменатели пересечение знаков: правая часть откладывается между корнями −3 и 5. - Решение: −3 < x < 5. 1) Решите неравенство б) −2x^2 − 5x + 3 < 0 - Умножим на −1 (поменяв знак неравенства): 2x^2 + 5x − 3 > 0. - Найдём корни квадратного трёхчлена: дискриминант D = 5^2 − 4·2·(−3) = 25 + 24 = 49; корни: x = [−5 ± 7]/(2·2) = [−5 ± 7]/4. Значит корни: x1 = (−5 − 7)/4 = −12/4 = −3, x2 = (−5 + 7)/4 = 2/4 = 1/2. - Поскольку коэффициент при x^2 положительный (2 > 0), знак выражения > 0 вне промежутка между корнями. - Решение: x < −3 или x > 1/2. 1) Решите неравенство в) 3x^2 − 4x + 7 > 0 - Дискриминант: D = (−4)^2 − 4·3·7 = 16 − 84 = −68 < 0. - Поскольку коэффициент при x^2 положительный и дискриминант отрицателен, квадратичная функция положительна на всей числовой оси. - Решение: все действительные x. 2) Решите методом интервалов неравенство x(x − 5)(x + 3) > 0 - Корни и нулевые точки: −3, 0, 5. - Выпишем интервалы: (−∞, −3), (−3, 0), (0, 5), (5, ∞). - Пробные точки и знак произведения: - x = −4: (−)(−)(−) = − → меньше нуля (не подходит). - x = −1: (−)(−)(+) = + → подходит. - x = 1: (+)(−)(+) = − → не подходит. - x = 6: (+)(+)(+) = + → подходит. - Знаки на интервалах чередуются, корни не включаются (поскольку неравенство strict > 0). - Решение: (−3, 0) ∪ (5, ∞). 3) Решите неравнения 3a) x(3x − 1) − x^2 + 16 ≤ x(2 − x) − x(11 − 2x) > 0 - Обозначим A = x(3x − 1) − x^2 + 16 и B = x(2 − x) − x(11 − 2x). - Вычислим A и B: A = 3x^2 − x − x^2 + 16 = 2x^2 − x + 16. B = 2x − x^2 − 11x + 2x^2 = x^2 − 9x. - Первое неравенство A ≤ B: 2x^2 − x + 16 ≤ x^2 − 9x => x^2 + 8x + 16 ≤ 0 => (x + 4)^2 ≤ 0 Единственное решение: x = −4. - Второе условие B > 0: B = x^2 − 9x > 0 → x(x − 9) > 0 → x < 0 или x > 9. Но совместим с A ≤ B, где единственное возможное значение −4 удовлетворяет B > 0 (B(−4) = 52 > 0). - Итог: решение x = −4. 3b) (x − 1)(2x + 3) / [(3x + 2)(x − 5)] > 0 - Домен: исключаем точки, где знаменатель обнуляется: x ≠ −2/3 и x ≠ 5. - Корни числителя: x = 1 и x = −3/2. - Строим интервальный анализ по точкам −3/2, −2/3, 1, 5. Знак на каждом интервале (последовательная проверка или знак-факторная таблица): - (−∞, −3/2): положительно - (−3/2, −2/3): отрицательно - (−2/3, 1): положительно - (1, 5): отрицательно - (5, ∞): положительно - Так как неравенство строгие (> 0), точки −3/2, −2/3, 1, 5 не включаются (они либо нули, либо точки разрыва). - Итог: решение (-∞, −3/2) ∪ (−2/3, 1) ∪ (5, ∞). Кратко подытожим ответы: 1) a) (−3, 5) b) (−∞, −3) ∪ (1/2, ∞) (обратите внимание: корректно записано x < −3 или x > 1/2) c) вся числовая ось 2) (−3, 0) ∪ (5, ∞) 3) a) x = −4 b) (−∞, −3/2) ∪ (−2/3, 1) ∪ (5, ∞) Если нужно, могу привести дополнительно иллюстративные диаграммы знаков на оси, или разобрать любые шаги подробнее.