. Петя и Вася по очереди выписывают цифры двадцатизначного числа. Петя ходит первым и хочет, чтобы получилось число кратное 9, а Вася стремится ему помешать. Кто выиграет при правильной игре?

Ответ: Вася выиграет при правильной игре. Пояснение пошагово - Номер делимости по 9: число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр S делится на 9. Поэтому в нашей задаче финальная сумма цифр должна быть ≡ 0 (mod 9), чтобы число было кратно 9. - Игровая схема: всего 20 ходов. Петя ходит первым и делает 10 цифр, Вася делает 10 цифр. Последний, 20-й ход, делает Вася. - Сумма после первых 19 ходов обозначим S19 (модульно по 9). Финальное значение суммы будет S = S19 + d (mod 9), где d — последняя цифра, выбранная Васей, и d может быть любым из 0,1,2,...,9. - Как выбрать последнюю цифру, чтобы сумма не была кратна 9? - Если S19 ≡ 0 (mod 9), то выбрать d = 1 приводит к S ≡ 1 (mod 9), то есть не кратно 9. - Если S19 ≠ 0 (mod 9), то выбрать d = 0 приводит к S ≡ S19 (mod 9) ≠ 0, то есть не кратно 9. - Таким образом у Васи всегда есть допустимый последний ход, который делает число не кратным 9, независимо от того, какие цифры выбирал Петя ранее. Приведённая стратегия легко реализуема: на последнем ходе если сумма первых 19 цифр делится на 9 — поставить 1; иначе поставить 0. Вывод: так как Вася может гарантированно сделать финальную сумму не кратной 9 на последнем ходе, он выигрывает при оптимальной игре.