Икс в 5-икс во 2 делить на икс во 2 больше или равно Икс в кубе - 1 делить на 4 Икс квадрат

Задача: решить неравенство ( x^5 − x^2 ) / x^2 ≥ ( x^3 − 1 ) / ( 4 x^2 ), при этом x ≠ 0. Пошаговое решение для понимания: 1) Область определения - Члены справа и слева содержат деление на x^2, поэтому x ≠ 0. 2) Упростим неравенство - Так как x^2 > 0 при любом x ≠ 0, можно умножить обе стороны на x^2 без переключения знака неравенства: x^5 − x^2 ≥ (x^3 − 1) / 4. - Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби: 4x^5 − 4x^2 ≥ x^3 − 1. - Перенесём всё в одну сторону: 4x^5 − x^3 − 4x^2 + 1 ≥ 0. 3) Факторизация - Заметим, что 4x^5 − x^3 − 4x^2 + 1 можно разбить на пары: (4x^5 − 4x^2) − (x^3 − 1) = 4x^2(x^3 − 1) − (x^3 − 1) = (x^3 − 1)(4x^2 − 1). - Значит неравенство эквивалентно (x^3 − 1)(4x^2 − 1) ≥ 0, при x ≠ 0. 4) Анализ знаков - Фактор 1: x^3 − 1 = (x − 1)(x^2 + x + 1). Так как x^2 + x + 1 > 0 для всех реальных x, знак задаёт только x − 1. Значит: x^3 − 1 < 0 при x < 1, = 0 при x = 1, > 0 при x > 1. - Фактор 2: 4x^2 − 1 = (2x − 1)(2x + 1). Знаковая активность: ≥ 0 при |x| ≥ 1/2, и ≤ 0 при |x| ≤ 1/2, с нулями в x = −1/2 и x = 1/2. - Пробежимся по участкам на числовой оси, помня что x ≠ 0: • x < −1/2: x^3−1 < 0, 4x^2−1 > 0 → произведение < 0 (не подходит) • x = −1/2: произведение = 0 (подходит) • −1/2 < x < 0: x^3−1 < 0, 4x^2−1 < 0 → произведение > 0 (подходит) • x = 0: недопустимо (разделение на ноль) • 0 < x < 1/2: x^3−1 < 0, 4x^2−1 < 0 → произведение > 0 (подходит) • x = 1/2: произведение = 0 (подходит) • 1/2 < x < 1: x^3−1 < 0, 4x^2−1 > 0 → произведение < 0 (не подходит) • x = 1: x^3−1 = 0 → произведение = 0 (подходит) • x > 1: x^3−1 > 0, 4x^2−1 > 0 → произведение > 0 (подходит) 5) Итог Неравенство выполняется на следующих промежутках и точках: - x = −1/2 допускается (порог нуля) - −1/2 ≤ x < 0 - 0 < x ≤ 1/2 - x ≥ 1 С учётом того, что x ≠ 0, итоговая совокупность решений: x ∈ [−1/2, 0) ∪ (0, 1/2] ∪ [1, ∞). Пояснение в nutshell: - мы перевели неравенство в одну многочленную дробь и факторизовали разность степеней, получили произведение (x^3 − 1)(4x^2 − 1) ≥ 0. - затем разложили знаки и нашли участки, где произведение неотрицательно, с учётом исключения точки x = 0. Если хочешь, могу привести проверочные значения в каждом промежутке, чтобы увидеть, что даёт правильный знак.