16x^4-1=0

Задача: 16x^4 - 1 = 0

Пошаговое решение (понять и получить ответ)

1. Приведем к разности квадратов

• 16x^4 - 1 = (4x^2)^2 - 1^2
• Используя формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) Получаем: (4x^2 - 1)(4x^2 + 1) = 0

2. Дополнительно разложим 4x^2 - 1

• 4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)
• Итоговое разложение: (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1) = 0

3. Решаем каждый множитель

• 2x - 1 = 0 → x = 1/2
• 2x + 1 = 0 → x = -1/2
• 4x^2 + 1 = 0 → x^2 = -1/4 → x = ± i/2 (комплексные корни)

Итоги

• Реальные корни: x = -1/2 и x = 1/2
• Комплексные корни: x = i/2 и x = -i/2

Дополнительный способ (бикубическое разложение через замену t = x^2)

• Пусть t = x^2. Тогда 16x^4 - 1 = 0 преобразуется в 16t^2 - 1 = 0.
• Решаем: t^2 = 1/16 → t = ±1/4.
• Так как t = x^2 ≥ 0, принимаем только t = 1/4 → x^2 = 1/4 → x = ±1/2.
• Если бы рассмотреть комплексный ответ, то при t = -1/4 получили бы x = ± i/2.