постройте график функции y=-12/x

Задача: построить график функции y = -12/x

Краткое резюме

• Это гипербола. Ветви находятся в координатах II и IV квадрантов.
• Асимптоты: прямая x = 0 (вертикальная) и прямая y = 0 (горизонтальная).
• Область определения: x ≠ 0. Пересечение с осями отсутствует (нет x- и y-пересечений).
• График симметричен относительно начала координат (функция нечетная: f(-x) = -f(x)).

Пошаговое разбор и как построить график

1. Аналитические свойства

• Функция вида y = a/x, где a = -12, имеет две ветви: для x > 0 получается y < 0 (IV квадрант); для x < 0 получается y > 0 (II квадрант).
• Домены и асимптоты:
  • Домен: x ≠ 0.
  • Вертикальная асимптота: x = 0.
  • Горизонтальная асимптота: y = 0.
• Пересечения с осями: для y = -12/x невозможно получить y = 0, и для x = 0 функция не определена. Следовательно, пересечений с осями нет.
• Симметрия: f(-x) = -f(x) → график симметричен относительно начала координат.

2. Таблица точек (для построения на бумаге)

• Для x > 0:
  • x = 1 → y = -12
  • x = 2 → y = -6
  • x = 3 → y = -4
  • x = 4 → y = -3
  • x = 6 → y = -2
  • x = 12 → y = -1
• Для x < 0 (отражение относительно начала координат):
  • x = -1 → y = 12
  • x = -2 → y = 6
  • x = -3 → y = 4
  • x = -4 → y = 3
  • x = -6 → y = 2
  • x = -12 → y = 1

3. Как нарисовать график

• Нарисуйте координатную сетку.
• Отметьте асимптоты: вертикальную x = 0 и горизонтальную y = 0.
• Отметьте указанные точки (1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1) в четвертом квадранте и симметрично им точки в втором квадранте: (-1, 12), (-2, 6), (-3, 4), (-4, 3), (-6, 2), (-12, 1).
• Соединяйте точки плавной кривой так, чтобы она подходила к осям, не пересекала их, и одна ветвь шла вдоль квадранта II, другая — вдоль квадранта IV. Не забудьте, что ветви стремятся к осям, но никогда не пересекают их.
• Ветка в квадранте II будет располагаться выше оси x и слева от оси y, ветка в квадранте IV — ниже оси x и справа от оси y. Гладкая кривизна соответствует характерной форме гиперболы.

4. Что еще полезно знать

• Производная: y = -12/x → y' = 12/x^2. Значение положительно для любого x ≠ 0, значит функция возрастает на обоих промежутках (-∞, 0) и (0, ∞).
• Поведение при бесконечности: как x → +∞, y → 0−; как x → −∞, y → 0+.
• Это же график xy = -12: если задать пару точек, их произведение x*y всегда равно -12.

Пример краткого объяснения для проверки

• Ветка в IV квадранте начинается очень низко на правой части графика (при малом положительном x, y очень отрицательно большое), затем плавно поднимается и приближается к оси y = 0 слева направо. Ветка в II квадранте симметрична: поднимается вверх и тоже приближается к осям.

Если хочешь, могу нарисовать компактную текстовую схему графика или подобрать более мелкую сетку точек под твой масштаб на бумаге. Также могу помочь с построением графика в любом инструменте (на лаптопе, калькуляторе или онлайн-графике).