Точки K,L,M, N- середины сторон AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD соответственно. Доказать, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения прямых AL, BM, CN и DK - параллелограмм

Задача: В параллелограмме ABCD точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Доказать, что четырехугольник, вершины которого — это точки пересечения линий AL, BM, CN и DK, является параллелограммом. Пошаговое решение (подробно, с объяснениями) 1) Введение координатной основы - Пусть A = 0 (начало координат), вектор AB назовём b, вектор AD — d. Тогда: - B = b - D = d - C = B + D = b + d - Это стандартная аффинная постановка для параллелограмма: стороны AB и AD заданы независимыми векторами b, d. 2) Середины сторон - K — середина AB: K = (A + B)/2 = b/2 - L — середина BC: L = (B + C)/2 = (b + (b + d))/2 = b + d/2 - M — середина CD: M = (C + D)/2 = ((b + d) + d)/2 = b/2 + d - N — середина AD: N = (A + D)/2 = d/2 3) Уравнения прямых AL, BM, CN, DK - AL: прямая через A = 0 и L = b + d/2. Любая точка на AL имеет координаты t*(b + d/2) = t b + (t/2) d. - BM: прямая через B = b и M = b/2 + d. Точка на BM имеет координаты b + s*(M - B) = b + s*(-b/2 + d) = (1 - s/2) b + s d. - CN: прямая через C = b + d и N = d/2. Точка на CN имеет координаты (b + d) + u*(N - C) = (1 - u) b + (1 - u/2) d. - DK: прямая через D = d и K = b/2. Точка на DK имеет координаты D + v*(K - D) = d + v*(b/2 - d) = (v/2) b + (1 - v) d. 4) Взаимно пересечения соседних прямых Обозначим вершины искомого параллелограмма как: - P = AL ∩ BM - Q = BM ∩ CN - R = CN ∩ DK - S = DK ∩ AL 4.1. Найдём P = AL ∩ BM Равниваем координаты по базису {b, d}: - AL: t b + (t/2) d - BM: (1 - s/2) b + s d Сравниваем коэффициенты по b и d: - t = 1 - s/2 - t/2 = s Из второго: t = 2s. Подстановка в первое даёт 2s = 1 - s/2 ⇒ 5s = 2 ⇒ s = 2/5, t = 4/5. Тогда P = t*(b + d/2) = (4/5) b + (2/5) d. 4.2. Найдём Q = BM ∩ CN - BM: (1 - s/2) b + s d - CN: (1 - u) b + (1 - u/2) d Сравниваем: - 1 - s/2 = 1 - u ⇒ s/2 = u - s = 1 - u/2 Из первого: s = 2u. Подстановка во второе: 2u = 1 - u/2 ⇒ 5u = 2 ⇒ u = 2/5, s = 4/5. Получаем Q = (1 - s/2) b + s d = (3/5) b + (4/5) d. 4.3. Найдём R = CN ∩ DK - CN: (1 - u) b + (1 - u/2) d - DK: (v/2) b + (1 - v) d Сравниваем: - v/2 = 1 - u - 1 - v = 1 - u/2 ⇒ v = u/2 Из второго: v = u/2. Подстановка в первое: (u/2)/2 = 1 - u ⇒ u/4 = 1 - u ⇒ 5u = 4 ⇒ u = 4/5, v = 2/5. R = CN при u = 4/5: R = (1 - 4/5) b + (1 - (4/5)/2) d = (1/5) b + (3/5) d. 4.4. Найдём S = DK ∩ AL - AL: t b + (t/2) d - DK: (v/2) b + (1 - v) d Сравниваем: - t = v/2 - t/2 = 1 - v Из первого: t = v/2. Подстановка во второе: (v/2)/2 = 1 - v ⇒ v/4 = 1 - v ⇒ 5v = 4 ⇒ v = 4/5, t = 2/5. S = t*(b + d/2) = (2/5) b + (1/5) d. Итак, вершины искомого quadrilateral в базисе {b, d} имеют координаты: - P = (4/5, 2/5) - Q = (3/5, 4/5) - R = (1/5, 3/5) - S = (2/5, 1/5) 5) Проказавшееся свойство параллелограмма Чтобы проверить, что PQRS — параллелограмм, достаточно отметить, что сумма диагоналей равна (P + R) = (Q + S) векторно: - P + R = (4/5 + 1/5) b + (2/5 + 3/5) d = b + d - Q + S = (3/5 + 2/5) b + (4/5 + 1/5) d = b + d Следовательно, P + R = Q + S, то есть диагонали PR и QS пересекаются в одной точке и делят друг друга пополам. Это равносильно тому, что PQRS является параллелограммом. 6) Альтернативный подход (упрощение через аффинное отображение) Это свойство аффино инвариантно: если ABCD является параллелограммом, а прямые AL, BM, CN, DK переходят через линейно-однородную аффинную трансформацию в другой квадрат/параллелограмм, то искомый четырехугольник также останется параллелограммом. Поэтому можно было рассмотреть упрощённый случай, например квадрат ABCD, и аналогично подсчитать координаты пересечений. Вывод: Четырёхугольник, вершины которого — пересечения прямых AL, BM, CN и DK, является параллелограммом. В приведённых вычислениях его вершины имеют координаты (в базисе {AB, AD}): P = (4/5) AB + (2/5) AD Q = (3/5) AB + (4/5) AD R = (1/5) AB + (3/5) AD S = (2/5) AB + (1/5) AD И сумма диагоналей равна, что и доказывает параллелизм.