формула корней квадратного уравнения x=-b±✓D, где D=b² -4ac 2a

Цель: Понять формулу корней квадратного уравнения и как она получается.

1. Что это за формула

• Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, корни задаются так: x = (-b ± √D) / (2a), где D (дискриминант) = b^2 - 4ac.
• Значение D определяет количество и вид корней:
  • D > 0: два разных вещественных корня.
  • D = 0: один (удвоённый) вещественный корень.
  • D < 0: два комплексных корня (мнимая часть).

2. Как выводят формулу (пошагово, по сути «доказательство через выделение полного квадрата») Для уравнения ax^2 + bx + c = 0, a ≠ 0:

• Разделим все члены на a: x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0.
• Перенесём свободный член вправо: x^2 + (b/a)x = -c/a.
• Дополним квадратом левую часть. Добавим и вычтем одно и то же число (b/2a)^2: x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 = -c/a + (b/2a)^2.
• Левая часть — квадрат бинома: (x + b/(2a))^2 = -c/a + b^2/(4a^2).
• Объединим правую часть в общий знаменатель: (-c/a) + (b^2)/(4a^2) = (b^2 - 4ac)/(4a^2) = D/(4a^2).
• Возьмём квадратный корень с обеих сторон: x + b/(2a) = ± √D / (2a).
• Решим для x: x = [-b ± √D] / (2a).

Итого формула корней: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), при условии a ≠ 0.

3. Примеры применения Пример 1. Решить 2x^2 + 3x - 2 = 0.

• a = 2, b = 3, c = -2.
• D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4·2·(-2) = 9 + 16 = 25.
• x = (-b ± √D) / (2a) = (-3 ± √25) / (4) = (-3 ± 5) / 4.
  • x1 = (-3 + 5) / 4 = 2 / 4 = 1/2.
  • x2 = (-3 - 5) / 4 = -8 / 4 = -2. Ответ: x = 1/2 и x = -2.

Пример 2. Уравнение x^2 - 4x + 4 = 0.

• a = 1, b = -4, c = 4.
• D = (-4)^2 - 4·1·4 = 16 - 16 = 0.
• x = (-b ± √D) / (2a) = (4 ± 0) / 2 = 4/2 = 2. Ответ: x = 2 (один двойной корень).

Пример 3. Уравнение x^2 + x + 1 = 0 (D < 0).

• a = 1, b = 1, c = 1.
• D = 1^2 - 4·1·1 = 1 - 4 = -3.
• x = (-1 ± √(-3)) / 2 = (-1 ± i√3) / 2. Ответ: x = (-1 ± i√3)/2 — два комплексных корня.

4. Важные заметки

• Чтобы применять формулу, обязательно нужно a ≠ 0. Если a = 0, уравнение становится линейным: bx + c = 0, корень x = -c/b (при b ≠ 0).
• Дискриминант D определяет вид корней и полезно запоминать: D > 0 — два реальных корня; D = 0 — один реальный корень; D < 0 — два комплексных корня.
• Реальные корни зависят от точности вычислений под корнем и деления на 2a.

Если хочешь, могу подобрать ещё примеры под конкретные значения a, b, c или разобрать твой пример по шагам.