Как решить квадратное уравнение

Вот как решать квадратное уравнение общего вида Ax^2 + Bx + C = 0 (A ≠ 0). Поскольку задача не указала предмет и класс, дам понятное объяснение и примеры, подходящие для средней школы. Основной план - Шаг 1. Проверить коэффициент A. Если A = 0, это уже линейное уравнение Bx + C = 0. - Шаг 2. Вычислить дискриминант D = B^2 − 4AC. - Шаг 3. В зависимости от D выбрать способ решения: - D > 0: два действительных корня. - D = 0: один двойной корень. - D < 0: два комплексных корня. - Шаг 4. Найти корни: - Через формулу x = (−B ± √D) / (2A) (при A ≠ 0). - При необходимости можно также решить через факторизацию или метод completing the square. - Шаг 5. Проверить полученные корни подстановкой обратно в уравнение. Детальнее по методам 1) Формула (общий метод) - Если A ≠ 0, корни задаются как: x1,2 = (−B ± √(B^2 − 4AC)) / (2A) - Применяйте дискриминант D = B^2 − 4AC. - Примеры ниже показывают, как это работает на практике. 2) Факторизация (когда удобно) - Ищем такие числа k и m, чтобы k·m = A·C и k + m = B. - Разлагаем и раскладываем на линейные множители: Ax^2 + Bx + C = (px + q)(rx + s) = 0 - Затем решаем каждый линейный множитель равный нулю. - Этот метод удобен, если можно подобрать пары целых чисел. 3) Completing the square (сведение к квадрату) - Приводим уравнение к форме (x + p)^2 = q. - Пример: Ax^2 + Bx + C = 0 делим на A (если нужно), затем добавляем и вычитаем (B/(2A))^2 и т.д. - Результат: x = −B/(2A) ± √(D)/(2A), что эквивалентно формуле. 4) Особые случаи - Если A = 0: линейное уравнение Bx + C = 0 → x = −C/B (если B ≠ 0). - Если D < 0: корни комплексные: x = (−B ± i√|D|) / (2A). - Если D = 0: один корень (двойной): x = −B/(2A). Примеры Пример 1. Факторизация Уравнение: x^2 − 5x + 6 = 0 - Можно разложить: (x − 2)(x − 3) = 0 - Корни: x = 2 и x = 3 Пример 2. Формула Уравнение: 2x^2 + 3x − 2 = 0 - D = 3^2 − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25 - x1,2 = (−3 ± √25) / (2·2) = (−3 ± 5) / 4 - x1 = (−3 + 5)/4 = 2/4 = 0.5 x2 = (−3 − 5)/4 = −8/4 = −2 Пример 3. Completing the square Уравнение: x^2 + 4x − 5 = 0 - x^2 + 4x = 5 - Добавляем и вычитаем (4/2)^2 = 4: (x^2 + 4x + 4) = 5 + 4 - (x + 2)^2 = 9 - x + 2 = ±3 → x = 1 или x = −5 Пример 4. Дискриминант отрицательный Уравнение: 3x^2 + 2x + 5 = 0 - D = 2^2 − 4·3·5 = 4 − 60 = −56 - Корни: x = (−2 ± i√56) / 6 = (−1 ± i√14) / 3 Проверка - Подставьте найденные корни обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что левая часть равна нулю. Практика Если хочешь, пришли конкретное квадратное уравнение (например, Ax^2 + Bx + C = 0), и я покажу решение пошагово по выбранному методу (факторизация, формула или Completing the square) и разберу дискриминант. Также могу дать дополнительные примеры под твой уровень.