Постройте по точкам график функции Опишите её свойства Y = x² + 1

Ниже подробное решение и объяснения, адаптированные под алгебру 9 класса и цель “Понять”.

1. Построение графика по точкам Заданная функция: y = x^2 + 1.

Выберем несколько значений x и найдём соответствующие y (точки можно использовать для построения графика):

• x = -3 → y = (-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10 → точка (-3, 10)
• x = -2 → y = 4 + 1 = 5 → точка (-2, 5)
• x = -1 → y = 1 + 1 = 2 → точка (-1, 2)
• x = 0 → y = 0 + 1 = 1 → точка (0, 1)
• x = 1 → y = 1 + 1 = 2 → точка (1, 2)
• x = 2 → y = 4 + 1 = 5 → точка (2, 5)
• x = 3 → y = 9 + 1 = 10 → точка (3, 10)

Эти точки симметричны относительно оси y (ось симметрии будет вертикальной линией x = 0). Соединяем точки плавной параболической кривой. Вершина параболы — это минимальная точка графика, которая находится в точке (0, 1).

2. Свойства функции y = x^2 + 1

• Область определения: все действительные числа R.
• Область значений (множество y): y ≥ 1. То есть минимальное значение y равно 1 при x = 0.
• Вершина параболы: (0, 1).
• Ось симметрии: x = 0 (ось параболы параллельна оси y и делит график на симметричные половины).
• Направление ветвей: парабола идёт вверх (открывается вверх).
• Пересечение с осью Y: при x = 0 получаем y = 1, значит график пересекает ось Y в точке (0, 1).
• Пересечение с осью X: уравнение x^2 + 1 = 0 не имеет вещественных решений, значит пересечения с осью X нет (параболевая кривая всегда лежит выше оси X).
• Производная (покажет монотонность): dy/dx = 2x. Следовательно, функция убывает на (-∞, 0) и возрастает на (0, ∞); минимум в x = 0.
• Стандартная форма и перенос: это параболa в стандартной форме y = (x − h)^2 + k с h = 0, k = 1. Это вертикальное перемещение вверх стандартной параболы y = x^2 на 1 единицу.
• Параметр параболы в форме (x − h)^2 = 4p(y − k): Приведём к виду (x − 0)^2 = 1 · (y − 1). Тогда 4p = 1, p = 1/4. Фокус: (h, k + p) = (0, 1 + 1/4) = (0, 1.25). Директи́са: y = k − p = 1 − 1/4 = 0.75. Это дополнительно иллюстрирует геометрические свойства параболы.

3. Как построить график “по точкам”

• Постройте координатные оси.
• Отметьте точки: (-3,10), (-2,5), (-1,2), (0,1), (1,2), (2,5), (3,10).
• Соедините точки плавной симметричной кривой, следуя направлению ветвей вверх.
• Обозначьте вершину в (0, 1) и ось симметрии x = 0.
• При желании укажите дополнительную информацию: фокус (0, 1.25) и директрису y = 0.75, если контур графика нужно рассмотреть с геометрической точки зрения.

Кратко о сущности графика

• Это парабола, чья вершина находится в точке (0, 1) и которая открывается вверх.
• График симметричен относительно оси x = 0.
• y минимально равно 1; при больших |x| значения y растут как квадрат функции.
• Нет реальных корней (нет точек пересечения с осью X).

Если нужно, могу дополнительно показать график с помощью ASCII-черчения или дать ссылку на онлайн-строитель графиков, чтобы визуально увидеть форму.