Постройте по точкам график функции Опишите её свойства Y = x² + 1

Ниже подробное решение и объяснения, адаптированные под алгебру 9 класса и цель “Понять”. 1) Построение графика по точкам Заданная функция: y = x^2 + 1. Выберем несколько значений x и найдём соответствующие y (точки можно использовать для построения графика): - x = -3 → y = (-3)^2 + 1 = 9 + 1 = 10 → точка (-3, 10) - x = -2 → y = 4 + 1 = 5 → точка (-2, 5) - x = -1 → y = 1 + 1 = 2 → точка (-1, 2) - x = 0 → y = 0 + 1 = 1 → точка (0, 1) - x = 1 → y = 1 + 1 = 2 → точка (1, 2) - x = 2 → y = 4 + 1 = 5 → точка (2, 5) - x = 3 → y = 9 + 1 = 10 → точка (3, 10) Эти точки симметричны относительно оси y (ось симметрии будет вертикальной линией x = 0). Соединяем точки плавной параболической кривой. Вершина параболы — это минимальная точка графика, которая находится в точке (0, 1). 2) Свойства функции y = x^2 + 1 - Область определения: все действительные числа R. - Область значений (множество y): y ≥ 1. То есть минимальное значение y равно 1 при x = 0. - Вершина параболы: (0, 1). - Ось симметрии: x = 0 (ось параболы параллельна оси y и делит график на симметричные половины). - Направление ветвей: парабола идёт вверх (открывается вверх). - Пересечение с осью Y: при x = 0 получаем y = 1, значит график пересекает ось Y в точке (0, 1). - Пересечение с осью X: уравнение x^2 + 1 = 0 не имеет вещественных решений, значит пересечения с осью X нет (параболевая кривая всегда лежит выше оси X). - Производная (покажет монотонность): dy/dx = 2x. Следовательно, функция убывает на (-∞, 0) и возрастает на (0, ∞); минимум в x = 0. - Стандартная форма и перенос: это параболa в стандартной форме y = (x − h)^2 + k с h = 0, k = 1. Это вертикальное перемещение вверх стандартной параболы y = x^2 на 1 единицу. - Параметр параболы в форме (x − h)^2 = 4p(y − k): Приведём к виду (x − 0)^2 = 1 · (y − 1). Тогда 4p = 1, p = 1/4. Фокус: (h, k + p) = (0, 1 + 1/4) = (0, 1.25). Директи́са: y = k − p = 1 − 1/4 = 0.75. Это дополнительно иллюстрирует геометрические свойства параболы. 3) Как построить график “по точкам” - Постройте координатные оси. - Отметьте точки: (-3,10), (-2,5), (-1,2), (0,1), (1,2), (2,5), (3,10). - Соедините точки плавной симметричной кривой, следуя направлению ветвей вверх. - Обозначьте вершину в (0, 1) и ось симметрии x = 0. - При желании укажите дополнительную информацию: фокус (0, 1.25) и директрису y = 0.75, если контур графика нужно рассмотреть с геометрической точки зрения. Кратко о сущности графика - Это парабола, чья вершина находится в точке (0, 1) и которая открывается вверх. - График симметричен относительно оси x = 0. - y минимально равно 1; при больших |x| значения y растут как квадрат функции. - Нет реальных корней (нет точек пересечения с осью X). Если нужно, могу дополнительно показать график с помощью ASCII-черчения или дать ссылку на онлайн-строитель графиков, чтобы визуально увидеть форму.