Задачи по геометрии: 1) В ромбе ABCD угол С=140*, диагонали пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника АОВ 2) Найдите углы ромба, если его Р= 24 см, высота равна 3 см 3)…

1. Ромб ABCD, угол C = 140°. Диагонали пересекаются в O. Нужно углы треугольника AOB.

• В ромбе углы противоположныи равны: ∠A = ∠C = 140°, ∠B = ∠D = 40°.
• Диагональ AC bisect… угол A, т. е. ∠OAB = 1/2 ∠A = 70°.
• Диагональ BD bisect… угол B, т. е. ∠ABO = 1/2 ∠B = 20°.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, значит ∠AOB = 90°.

Итак, углы треугольника AOB: 70°, 20°, 90°.

2. Найдите углы ромба, если периметр P = 24 см, высота = 3 см.

• Пусть сторона ромба = a. Так как периметр равен 4a, имеем a = 24/4 = 6 см.
• Высота h к стороне a равна h = a sin α, где α — один из углов ромба (острый). → sin α = h/a = 3/6 = 1/2 ⇒ α = 30° (острый угол; 150° — его supplement).
• Значит углы ромба: два угла по45°? Нет: два угла равны 30°, два — 150°.

Ответ: углы ромба 30° и 150°.

3. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пусть треугольник ABC прямоугольный в C (∠ACB = 90°). Пусть M — середина гипотенузы AB.

• Точка C лежит на окружности с диаметром AB (теорема Фалеса: угол ACB = 90°, следовательно, C лежит на окружности, центр которой — середина AB — точка M).
• Радиус этой окружности равен MA = MB = AB/2, и также MC равно радиусу: MC = AB/2.

Следовательно, медиана CM равна AB/2, то есть половине гипотенузы. Это доказывает утверждение.